পাটিগণিতের অগ্রগতি a n. পাটিগণিতের অগ্রগতি: এটা কি? জোড়ায় স্বাধীন কাজ

পাঠের ধরন:নতুন উপাদান শেখা।

পাঠের উদ্দেশ্য:

• গাণিতিক অগ্রগতি ব্যবহার করে সমাধান করা কাজগুলি সম্পর্কে ছাত্রদের ধারণার বিস্তার এবং গভীরতা; একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম n সদস্যদের যোগফলের সূত্র বের করার সময় শিক্ষার্থীদের অনুসন্ধান কার্যকলাপের সংগঠন;
• স্বাধীনভাবে নতুন জ্ঞান অর্জনের দক্ষতার বিকাশ, কাজটি অর্জন করতে ইতিমধ্যে অর্জিত জ্ঞান ব্যবহার করুন;
• আকাঙ্ক্ষার বিকাশ এবং প্রাপ্ত তথ্যগুলিকে সাধারণীকরণ করার প্রয়োজন, স্বাধীনতার বিকাশ।

কাজ:

• "পাটিগণিতের অগ্রগতি" বিষয়ে বিদ্যমান জ্ঞানকে সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগত করা;
• একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম n সদস্যদের যোগফল গণনা করার জন্য সূত্রগুলি বের করুন;
• বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে প্রাপ্ত সূত্রগুলি কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শেখান;
• একটি সংখ্যাসূচক রাশির মান খুঁজে বের করার পদ্ধতির প্রতি শিক্ষার্থীদের দৃষ্টি আকর্ষণ করুন।

সরঞ্জাম:

• গ্রুপ এবং জোড়ায় কাজের জন্য টাস্ক সহ কার্ড;
• মূল্যায়ন কাগজ;
• উপস্থাপনা"পাটিগণিতের অগ্রগতি"।

I. মৌলিক জ্ঞানের বাস্তবায়ন।

1. জোড়ায় স্বাধীন কাজ।

1ম বিকল্প:

একটি গাণিতিক অগ্রগতি সংজ্ঞায়িত করুন। একটি পুনরাবৃত্ত সূত্র লিখুন যা একটি গাণিতিক অগ্রগতি সংজ্ঞায়িত করে। একটি গাণিতিক অগ্রগতির একটি উদাহরণ দিন এবং এর পার্থক্য নির্দেশ করুন।

2য় বিকল্প:

একটি গাণিতিক অগ্রগতির nম পদের সূত্রটি লিখ। একটি গাণিতিক অগ্রগতির 100তম পদ খুঁজুন ( একটি}: 2, 5, 8 …
এ সময় দুই শিক্ষার্থী মো বিপরীত দিকেবোর্ড একই প্রশ্নের উত্তর প্রস্তুত করে।
শিক্ষার্থীরা অংশীদারের কাজকে বোর্ডের সাথে তুলনা করে মূল্যায়ন করে। (উত্তর সহ লিফলেট হস্তান্তর করা হয়)।

2. খেলার মুহূর্ত।

অনুশীলনী 1.

শিক্ষক।আমি কিছু গাণিতিক অগ্রগতি কল্পনা করেছি। আমাকে শুধুমাত্র দুটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন যাতে উত্তরের পরে আপনি দ্রুত এই অগ্রগতির 7 তম সদস্যের নাম দিতে পারেন। (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

শিক্ষার্থীদের কাছ থেকে প্রশ্ন।

1. অগ্রগতির ষষ্ঠ পদ কি এবং পার্থক্য কি?
2. অগ্রগতির অষ্টম পদ কি এবং পার্থক্য কি?

যদি আর কোনও প্রশ্ন না থাকে, তবে শিক্ষক তাদের উদ্দীপিত করতে পারেন - ডি (পার্থক্য) এর উপর একটি "নিষেধাজ্ঞা", অর্থাৎ, পার্থক্যটি কী তা জিজ্ঞাসা করার অনুমতি নেই। আপনি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারেন: অগ্রগতির 6 তম মেয়াদ কী এবং অগ্রগতির 8 তম মেয়াদ কী?

টাস্ক 2।

বোর্ডে 20টি সংখ্যা লেখা আছে: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

শিক্ষক ব্ল্যাকবোর্ডের দিকে পিঠ দিয়ে দাঁড়িয়ে আছেন। শিক্ষার্থীরা নম্বরটির নম্বর বলে, এবং শিক্ষক অবিলম্বে নম্বরটি নিজেই কল করেন। আমি এটা কিভাবে করতে পারি ব্যাখ্যা করুন?

শিক্ষক নবম পদের সূত্র মনে রেখেছেন a n \u003d 3n - 2এবং, n-এর প্রদত্ত মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করে, সংশ্লিষ্ট মানগুলি খুঁজে বের করে একটি .

২. শিক্ষামূলক কাজের বিবৃতি।

আমি মিশরীয় প্যাপিরিতে পাওয়া ২য় সহস্রাব্দ খ্রিস্টপূর্বাব্দের একটি পুরানো সমস্যা সমাধানের প্রস্তাব করছি।

কাজ:"আপনাকে বলা যাক: 10 জন লোকের মধ্যে 10 পরিমাপ বার্লি ভাগ করুন, প্রতিটি ব্যক্তি এবং তার প্রতিবেশীর মধ্যে পার্থক্য হল পরিমাপের 1/8।"

• কিভাবে এই সমস্যাটি গাণিতিক অগ্রগতির বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত? (প্রতিটি পরবর্তী ব্যক্তি পরিমাপের 1/8 বেশি পায়, তাই পার্থক্য হল d=1/8, 10 জন, তাই n=10।)
• আপনি কি মনে করেন 10 নম্বর মানে? (প্রগতির সকল সদস্যের যোগফল।)
• সমস্যার অবস্থা অনুযায়ী বার্লি ভাগ করা সহজ এবং সরল করতে আপনার আর কী জানা দরকার? (প্রগতির প্রথম মেয়াদ।)

পাঠের উদ্দেশ্য- তাদের সংখ্যা, প্রথম পদ এবং পার্থক্যের উপর অগ্রগতির পদগুলির যোগফলের নির্ভরতা প্রাপ্ত করা এবং প্রাচীনকালে সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছিল কিনা তা পরীক্ষা করা।

সূত্রটি বের করার আগে, আসুন দেখি কিভাবে প্রাচীন মিশরীয়রা সমস্যার সমাধান করেছিল।

এবং তারা এটি এই মত সমাধান করেছে:

1) 10 পরিমাপ: 10 = 1 পরিমাপ - গড় ভাগ;
2) 1 পরিমাপ ∙ = 2 পরিমাপ - দ্বিগুণ গড়ভাগ
দ্বিগুণ গড়শেয়ার হল ৫ম এবং ৬ষ্ঠ ব্যক্তির শেয়ারের সমষ্টি।
3) 2 পরিমাপ - 1/8 পরিমাপ = 1 7/8 পরিমাপ - পঞ্চম ব্যক্তির দ্বিগুণ ভাগ।
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - পঞ্চম ভাগ; এবং তাই, আপনি প্রতিটি পূর্ববর্তী এবং পরবর্তী ব্যক্তির ভাগ খুঁজে পেতে পারেন।

আমরা ক্রমটি পাই:

III. কাজের সমাধান।

1. দলে কাজ করুন

১ম গ্রুপ:পরপর 20টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210।

সাধারণভাবে

II গ্রুপ: 1 থেকে 100 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করুন (লিজেন্ড অফ লিটল গাউস)।

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

উপসংহার:

III গ্রুপ: 1 থেকে 21 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান: 1+21=2+20=3+19=4+18…

উপসংহার:

IV গ্রুপ: 1 থেকে 101 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

উপসংহার:

বিবেচিত সমস্যা সমাধানের এই পদ্ধতিটিকে "গাউস পদ্ধতি" বলা হয়।

2. প্রতিটি দল বোর্ডে সমস্যার সমাধান উপস্থাপন করে।

3. একটি নির্বিচারে গাণিতিক অগ্রগতির জন্য প্রস্তাবিত সমাধানগুলির সাধারণীকরণ:

একটি 1, একটি 2, একটি 3,…, একটি n-2, একটি n-1, একটি n।
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n।

আমরা একইভাবে যুক্তি দিয়ে এই যোগফলটি খুঁজে পাই:

4. আমরা কি টাস্ক সমাধান করেছি?(হ্যাঁ.)

IV সমস্যা সমাধানে প্রাপ্ত সূত্রগুলির প্রাথমিক বোধগম্যতা এবং প্রয়োগ।

1. সূত্র দ্বারা একটি পুরানো সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করা।

2. বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে সূত্রের প্রয়োগ।

3. সমস্যা সমাধানে সূত্র প্রয়োগ করার ক্ষমতা গঠনের জন্য অনুশীলন।

ক) নং 613

দেওয়া :( এবং n) -গাণিতিক অগ্রগতি;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

খুঁজতে: এস 1500

সিদ্ধান্ত: , এবং 1 = 1, এবং 1500 = 1500,

খ) দেওয়া হয়েছে: ( এবং n) -গাণিতিক অগ্রগতি;
(এবং n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

খুঁজতে: n
সিদ্ধান্ত:

V. পারস্পরিক যাচাই সহ স্বাধীন কাজ।

ডেনিস কুরিয়ার হিসাবে কাজ করতে গিয়েছিল। প্রথম মাসে, তার বেতন ছিল 200 রুবেল, প্রতিটি পরবর্তী মাসে এটি 30 রুবেল বৃদ্ধি পেয়েছে। সে এক বছরে কত আয় করেছে?

দেওয়া :( এবং n) -গাণিতিক অগ্রগতি;
a 1 = 200, d=30, n=12
খুঁজতে: এস 12
সিদ্ধান্ত:

উত্তর: ডেনিস বছরের জন্য 4380 রুবেল পেয়েছেন।

VI. বাড়ির কাজের নির্দেশ।

1. p. 4.3 - সূত্রের উদ্ভব শিখুন।
2. №№ 585, 623 .
3. একটি সমস্যা রচনা করুন যা একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম n পদের যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হবে।

VII. পাঠের সারসংক্ষেপ।

1. স্কোর শীট

2. বাক্যগুলি চালিয়ে যান

• আজ ক্লাসে জানলাম...
• ফর্মুলা শিখেছি...
• আমি মনেকরি যে …

3. আপনি কি 1 থেকে 500 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল খুঁজে পেতে পারেন? এই সমস্যা সমাধানের জন্য আপনি কি পদ্ধতি ব্যবহার করবেন?

গ্রন্থপঞ্জি।

1. বীজগণিত, 9ম শ্রেণী। শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের জন্য পাঠ্যপুস্তক। এড. জি.ভি. ডরোফিভা।মস্কো: এনলাইটেনমেন্ট, 2009।

উদাহরণস্বরূপ, ক্রম \(2\); \(5\); \(আট\); \(এগারো\); \(14\)… একটি গাণিতিক অগ্রগতি, কারণ প্রতিটি পরবর্তী উপাদান পূর্ববর্তী একটি থেকে তিন দ্বারা পৃথক হয় (তিনটি যোগ করে আগেরটি থেকে পাওয়া যেতে পারে):

এই অগ্রগতিতে, পার্থক্য \(d\) ধনাত্মক (\(3\) এর সমান), এবং সেইজন্য প্রতিটি পরবর্তী পদ আগেরটির থেকে বড়। এই ধরনের অগ্রগতি বলা হয় ক্রমবর্ধমান.

যাইহোক, \(d\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যাও হতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, গাণিতিক অগ্রগতিতে \(16\); \(দশ\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... অগ্রগতির পার্থক্য \(d\) বিয়োগ ছয়ের সমান।

এবং এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি পরবর্তী উপাদান আগেরটির থেকে কম হবে। এই অগ্রগতি বলা হয় হ্রাস.

গাণিতিক অগ্রগতি স্বরলিপি

অগ্রগতি একটি ছোট ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

যে সংখ্যাগুলি একটি অগ্রগতি গঠন করে তাকে বলা হয় সদস্যদের(বা উপাদান)।

এগুলিকে পাটিগণিতের অগ্রগতির মতো একই অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে ক্রমানুসারে উপাদান সংখ্যার সমান একটি সংখ্যাসূচক সূচক দিয়ে।

উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক অগ্রগতি \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ইত্যাদি।

অন্য কথায়, অগ্রগতির জন্য \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

একটি গাণিতিক অগ্রগতি সমস্যা সমাধান

নীতিগতভাবে, উপরের তথ্যগুলি ইতিমধ্যেই একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রায় কোনও সমস্যা সমাধানের জন্য যথেষ্ট (ওজিই-তে দেওয়া সেইগুলি সহ)।

উদাহরণ (OGE)। গাণিতিক অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয় \(b_1=7; d=4\)। খুঁজুন \(b_5\)।
সিদ্ধান্ত:

উত্তর: \(b_5=23\)

উদাহরণ (OGE)। একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম তিনটি পদ দেওয়া হয়েছে: \(62; 49; 36…\) এই অগ্রগতির প্রথম ঋণাত্মক পদের মান খুঁজুন..
সিদ্ধান্ত:

	আমাদেরকে ক্রমটির প্রথম উপাদান দেওয়া হয়েছে এবং আমরা জানি যে এটি একটি গাণিতিক অগ্রগতি। অর্থাৎ, প্রতিটি উপাদান একই সংখ্যা দ্বারা প্রতিবেশী থেকে পৃথক। পরবর্তী উপাদান থেকে আগেরটি বিয়োগ করে কোনটি খুঁজে বের করুন: \(d=49-62=-13\)।
	এখন আমরা আমাদের অগ্রগতি পছন্দসই (প্রথম নেতিবাচক) উপাদানে পুনরুদ্ধার করতে পারি।
	প্রস্তুত. আপনি একটি উত্তর লিখতে পারেন.

উত্তর: \(-3\)

উদাহরণ (OGE)। একটি গাণিতিক অগ্রগতির বেশ কয়েকটি ধারাবাহিক উপাদান দেওয়া হয়েছে: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত উপাদানটির মান খুঁজুন।
সিদ্ধান্ত:

	\(x\) খুঁজে পেতে, আমাদের জানতে হবে পরবর্তী উপাদানটি আগেরটির থেকে কতটা আলাদা, অন্য কথায়, অগ্রগতির পার্থক্য। আসুন এটি দুটি পরিচিত প্রতিবেশী উপাদান থেকে খুঁজে বের করি: \(d=12.5-10=2.5\)।
	এবং এখন আমরা কোন সমস্যা ছাড়াই যা খুঁজছি তা খুঁজে পাই: \(x=5+2.5=7.5\)।
	প্রস্তুত. আপনি একটি উত্তর লিখতে পারেন.

উত্তর: \(7,5\).

উদাহরণ (OGE)। গাণিতিক অগ্রগতি নিম্নলিখিত শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) এই অগ্রগতির প্রথম ছয়টি পদের সমষ্টি খুঁজুন।
সিদ্ধান্ত:

	আমাদের অগ্রগতির প্রথম ছয়টি পদের যোগফল খুঁজে বের করতে হবে। কিন্তু আমরা তাদের অর্থ জানি না, আমরা শুধুমাত্র প্রথম উপাদান দেওয়া হয়. অতএব, আমরা প্রথমে আমাদের প্রদত্ত ব্যবহার করে মানগুলি গণনা করি: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) এবং আমাদের প্রয়োজনীয় ছয়টি উপাদান গণনা করার পরে, আমরা তাদের যোগফল খুঁজে পাই।
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	অনুরোধ করা পরিমাণ পাওয়া গেছে.

উত্তর: \(S_6=9\)।

উদাহরণ (OGE)। গাণিতিক অগ্রগতিতে \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\)। এই অগ্রগতির পার্থক্য খুঁজুন।
সিদ্ধান্ত:

উত্তর: \(d=7\)।

গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক অগ্রগতি সূত্র

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, অনেক গাণিতিক অগ্রগতি সমস্যাগুলি প্রধান জিনিসটি বোঝার মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে - যে একটি গাণিতিক অগ্রগতি হল সংখ্যার একটি শৃঙ্খল, এবং এই শৃঙ্খলের প্রতিটি পরবর্তী উপাদান আগেরটির সাথে একই সংখ্যা যোগ করে প্রাপ্ত হয় (পার্থক্য অগ্রগতির)।

যাইহোক, কখনও কখনও এমন পরিস্থিতি রয়েছে যখন এটি "কপালে" সমাধান করা খুব অসুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, কল্পনা করুন যে একেবারে প্রথম উদাহরণে, আমাদের পঞ্চম উপাদান \(b_5\) নয়, বরং তিনশত ছিয়াশিতম \(b_(386)\) খুঁজে বের করতে হবে। এটা কি, আমরা \(385 \) বার চার যোগ করি? অথবা কল্পনা করুন যে উপান্তর উদাহরণে, আপনাকে প্রথম ত্রিশটি উপাদানের যোগফল খুঁজে বের করতে হবে। গণনা বিভ্রান্তিকর...

অতএব, এই জাতীয় ক্ষেত্রে, তারা "কপালে" সমাধান করে না, তবে গাণিতিক অগ্রগতির জন্য প্রাপ্ত বিশেষ সূত্রগুলি ব্যবহার করে। এবং প্রধানগুলি হল অগ্রগতির nম পদের সূত্র এবং প্রথম পদগুলির যোগফল \(n\) এর সূত্র৷

\(n\)তম সদস্যের সূত্র: \(a_n=a_1+(n-1)d\), যেখানে \(a_1\) অগ্রগতির প্রথম সদস্য;
\(n\) - প্রয়োজনীয় উপাদানের সংখ্যা;
\(a_n\) হল \(n\) নম্বর সহ অগ্রগতির সদস্য।

এই সূত্রটি শুধুমাত্র প্রথম এবং অগ্রগতির পার্থক্য জেনে অন্তত তিনশততম, এমনকি মিলিয়নতম উপাদানটি দ্রুত খুঁজে পেতে দেয়।

উদাহরণ। গাণিতিক অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়: \(b_1=-159\); \(d=8,2\)। খুঁজুন \(b_(246)\)।
সিদ্ধান্ত:

উত্তর: \(b_(246)=1850\)।

প্রথম n পদের যোগফলের সূত্র হল: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), যেখানে

\(a_n\) শেষ সমষ্টি পদ;

উদাহরণ (OGE)। গাণিতিক অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয় \(a_n=3.4n-0.6\)। এই অগ্রগতির প্রথম \(25\) পদগুলির সমষ্টি খুঁজুন।
সিদ্ধান্ত:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		প্রথম পঁচিশটি উপাদানের যোগফল নির্ণয় করতে, আমাদের প্রথম এবং পঁচিশতম পদের মান জানতে হবে। আমাদের অগ্রগতি তার সংখ্যার উপর নির্ভর করে nম পদের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় (বিস্তারিত দেখুন)। আসুন একটি দিয়ে \(n\) প্রতিস্থাপন করে প্রথম উপাদানটি গণনা করি।
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		এখন \(n\) এর পরিবর্তে পঁচিশটি প্রতিস্থাপন করে পঁচিশতম পদটি খুঁজে বের করা যাক।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		ঠিক আছে, এখন আমরা কোন সমস্যা ছাড়াই প্রয়োজনীয় পরিমাণ গণনা করি।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		উত্তর প্রস্তুত।

উত্তর: \(S_(25)=1090\)।

প্রথম পদের যোগফল \(n\) এর জন্য, আপনি আরেকটি সূত্র পেতে পারেন: আপনাকে শুধু \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) (\cdot 25\ ) এর পরিবর্তে \(a_n\) এর জন্য সূত্র প্রতিস্থাপন করুন \(a_n=a_1+(n-1)d\)। আমরা পেতে:

প্রথম n পদের যোগফলের সূত্র হল: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), যেখানে

\(S_n\) - প্রথম উপাদানগুলির প্রয়োজনীয় যোগফল \(n\);
\(a_1\) হল প্রথম পদ যা সংকলন করা হবে;
\(d\) - অগ্রগতির পার্থক্য;
\(n\) - যোগফলের উপাদানের সংখ্যা।

উদাহরণ। পাটিগণিতের অগ্রগতির প্রথম \(33\)-ex পদের যোগফল নির্ণয় করুন: \(17\); \(15,5\); \(চৌদ্দ\)…
সিদ্ধান্ত:

উত্তর: \(S_(33)=-231\)।

আরো জটিল গাণিতিক অগ্রগতি সমস্যা

এখন আপনার কাছে প্রায় যেকোনো গাণিতিক অগ্রগতি সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত তথ্য রয়েছে। আসুন সমস্যাগুলি বিবেচনা করে বিষয়টি শেষ করি যেখানে আপনাকে কেবল সূত্রগুলি প্রয়োগ করতে হবে না, তবে একটু চিন্তাও করতে হবে (গণিতে, এটি কার্যকর হতে পারে ☺)

উদাহরণ (OGE)। অগ্রগতির সমস্ত নেতিবাচক পদের সমষ্টি খুঁজুন: \(-19.3\); \(-উনিশ\); \(-18.7\)…
সিদ্ধান্ত:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		কাজটি আগেরটির মতোই। আমরা একইভাবে সমাধান করা শুরু করি: প্রথমে আমরা খুঁজে পাই \(d\)।
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		এখন আমরা যোগফলের সূত্রে \(d\) প্রতিস্থাপন করব ... এবং এখানে একটি ছোট সূক্ষ্মতা আসবে - আমরা জানি না \(n\)। অন্য কথায়, আমরা জানি না কতগুলো পদ যোগ করতে হবে। কিভাবে খুঁজে বের করতে? চল চিন্তা করি. আমরা যখন প্রথম ইতিবাচক উপাদানে পৌঁছাব তখন আমরা উপাদান যোগ করা বন্ধ করব। অর্থাৎ, আপনাকে এই উপাদানটির সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে। কিভাবে? একটি গাণিতিক অগ্রগতির যে কোনো উপাদান গণনার সূত্রটি লিখুন: আমাদের ক্ষেত্রে \(a_n=a_1+(n-1)d\)।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		আমাদের \(a_n\) শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে। আসুন জেনে নেওয়া যাক কিসের জন্য এটি ঘটবে৷
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		আমরা অসমতার উভয় দিককে \(0,3\) দ্বারা ভাগ করি।
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		আমরা বিয়োগ এক স্থানান্তর, চিহ্ন পরিবর্তন করতে ভুলবেন না
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		কম্পিউটিং...
\(n>65,333...\)		…এবং দেখা যাচ্ছে যে প্রথম ধনাত্মক উপাদানটির সংখ্যা \(66\) থাকবে। সেই অনুযায়ী, শেষ নেতিবাচক \(n=65\) আছে। শুধু ক্ষেত্রে, এর এটি পরীক্ষা করা যাক.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		এইভাবে, আমাদের প্রথম \(65\) উপাদান যোগ করতে হবে।
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\(-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		উত্তর প্রস্তুত।

উত্তর: \(S_(65)=-630.5\)।

উদাহরণ (OGE)। গাণিতিক অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)। \(26\)ম থেকে \(42\) উপাদান সমেত সমষ্টি খুঁজুন।
সিদ্ধান্ত:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	এই সমস্যায়, আপনাকে উপাদানগুলির যোগফলও খুঁজে বের করতে হবে, তবে প্রথম থেকে নয়, \(26\)তম থেকে শুরু করে। এর জন্য আমাদের কাছে কোনো সূত্র নেই। কিভাবে সিদ্ধান্ত নিতে? সহজ - \(26\)th থেকে \(42\)th পর্যন্ত যোগফল পেতে, আপনাকে প্রথমে \(1\)th থেকে \(42\)th পর্যন্ত যোগফল খুঁজে বের করতে হবে এবং তারপর তা থেকে যোগফল বিয়োগ করতে হবে প্রথম থেকে \ (25 \) তম (ছবি দেখুন)।
	আমাদের অগ্রগতির জন্য \(a_1=-33\), এবং পার্থক্য \(d=4\) (সর্বশেষে, আমরা পরেরটি খুঁজে পেতে আগের উপাদানটিতে চারটি যোগ করি)। এটি জেনে, আমরা প্রথম \(42\)-উহ উপাদানগুলির যোগফল খুঁজে পাই।
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	এখন প্রথম \(25\)-ম উপাদানের যোগফল।
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	এবং অবশেষে, আমরা উত্তর গণনা.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

উত্তর: \(S=1683\)।

একটি গাণিতিক অগ্রগতির জন্য, আরও বেশ কয়েকটি সূত্র রয়েছে যা আমরা তাদের কম ব্যবহারিক উপযোগিতার কারণে এই নিবন্ধে বিবেচনা করিনি। যাইহোক, আপনি সহজেই তাদের খুঁজে পেতে পারেন।

হ্যাঁ, হ্যাঁ: গাণিতিক অগ্রগতি আপনার জন্য খেলনা নয় :)

ওয়েল, বন্ধুরা, আপনি যদি এই লেখাটি পড়ছেন, তাহলে অভ্যন্তরীণ ক্যাপ প্রমাণ আমাকে বলে যে আপনি এখনও জানেন না একটি গাণিতিক অগ্রগতি কি, কিন্তু আপনি সত্যিই (না, এইরকম: SOOOOO!) জানতে চান। অতএব, আমি আপনাকে দীর্ঘ ভূমিকা দিয়ে যন্ত্রণা দেব না এবং অবিলম্বে ব্যবসায় নামব।

শুরু করার জন্য, কয়েকটি উদাহরণ। সংখ্যার কয়েকটি সেট বিবেচনা করুন:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

এই সব সেট কি মিল আছে? প্রথম নজরে, কিছুই না. কিন্তু আসলে কিছু আছে. যথা: প্রতিটি পরবর্তী উপাদান একই সংখ্যা দ্বারা পূর্ববর্তী এক থেকে পৃথক.

নিজের জন্য বিচার করুন। প্রথম সেটটি কেবল পরপর সংখ্যা, প্রতিটি আগেরটির চেয়ে বেশি। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সন্নিহিত সংখ্যাগুলির মধ্যে পার্থক্য ইতিমধ্যে পাঁচের সমান, কিন্তু এই পার্থক্যটি এখনও স্থির। তৃতীয় ক্ষেত্রে, সাধারণভাবে শিকড় আছে। যাইহোক, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, যখন $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, যেমন যে ক্ষেত্রে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান কেবল $\sqrt(2)$ দ্বারা বৃদ্ধি পায় (এবং ভয় পাবেন না যে এই সংখ্যাটি অযৌক্তিক)।

তাই: এই ধরনের সমস্ত ক্রমকে শুধু গাণিতিক অগ্রগতি বলা হয়। আসুন একটি কঠোর সংজ্ঞা দেওয়া যাক:

সংজ্ঞা। সংখ্যার একটি ক্রম যেখানে প্রতিটি পরেরটি আগের থেকে ঠিক একই পরিমাণে পৃথক হয় তাকে একটি গাণিতিক অগ্রগতি বলা হয়। যে পরিমাণে সংখ্যার পার্থক্য হয় তাকে অগ্রগতি পার্থক্য বলা হয় এবং প্রায়শই $d$ অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

নোটেশন: $\left(((a)_(n)) \right)$ হল প্রগতি নিজেই, $d$ হল এর পার্থক্য।

এবং শুধুমাত্র গুরুত্বপূর্ণ মন্তব্য একটি দম্পতি. প্রথমত, অগ্রগতি শুধুমাত্র বিবেচনা করা হয় সুশৃঙ্খলসংখ্যার ক্রম: সেগুলি যে ক্রমে লেখা হয়েছে সেই ক্রমে কঠোরভাবে পড়ার অনুমতি রয়েছে - এবং অন্য কিছু নয়। আপনি নম্বর পুনর্বিন্যাস বা অদলবদল করতে পারবেন না।

দ্বিতীয়ত, ক্রম নিজেই সসীম বা অসীম হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সেট (1; 2; 3) স্পষ্টতই একটি সীমাবদ্ধ গাণিতিক অগ্রগতি। কিন্তু যদি আপনি (1; 2; 3; 4; ...) এর মতো কিছু লেখেন - এটি ইতিমধ্যে একটি অসীম অগ্রগতি। চারটির পরে উপবৃত্ত, যেমনটি ছিল, ইঙ্গিত দেয় যে বেশ অনেক সংখ্যা আরও এগিয়ে যায়। অসীম অনেক, উদাহরণস্বরূপ। :)

আমি আরও লক্ষ্য করতে চাই যে অগ্রগতি বাড়ছে এবং কমছে। আমরা ইতিমধ্যে ক্রমবর্ধমান দেখেছি - একই সেট (1; 2; 3; 4; ...)। এখানে ক্রমবর্ধমান অগ্রগতির উদাহরণ রয়েছে:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ঠিক আছে, ঠিক আছে: শেষ উদাহরণটি অত্যধিক জটিল মনে হতে পারে। কিন্তু বাকিটা, আমি মনে করি, আপনি বুঝতে পেরেছেন। অতএব, আমরা নতুন সংজ্ঞা প্রবর্তন করি:

সংজ্ঞা। একটি গাণিতিক অগ্রগতি বলা হয়:

1. প্রতিটি পরবর্তী উপাদান আগেরটির থেকে বেশি হলে বৃদ্ধি;
2. কমছে, যদি, বিপরীতে, প্রতিটি পরবর্তী উপাদান আগেরটির থেকে কম হয়।

উপরন্তু, তথাকথিত "স্থির" ক্রম রয়েছে - তারা একই পুনরাবৃত্তি সংখ্যা নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, (3; 3; 3; ...)।

শুধুমাত্র একটি প্রশ্ন অবশেষ: কিভাবে একটি হ্রাস একটি থেকে একটি ক্রমবর্ধমান অগ্রগতি পার্থক্য? সৌভাগ্যবশত, এখানে সবকিছু নির্ভর করে শুধুমাত্র $d$ সংখ্যার চিহ্নের উপর, অর্থাৎ অগ্রগতি পার্থক্য:

1. যদি $d \gt 0$ হয়, তাহলে অগ্রগতি বাড়ছে;
2. যদি $d \lt 0$ হয়, তবে অগ্রগতি স্পষ্টতই হ্রাস পাচ্ছে;
3. অবশেষে, কেস আছে $d=0$, এই ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ অগ্রগতি স্থির ক্রম-এ কমে যায় একই সংখ্যা: (1; 1; 1; 1; ...) ইত্যাদি।

উপরের তিনটি ক্রমহ্রাসমান অগ্রগতির জন্য পার্থক্য $d$ গণনা করার চেষ্টা করা যাক। এটি করার জন্য, যেকোনো দুটি সংলগ্ন উপাদান (উদাহরণস্বরূপ, প্রথম এবং দ্বিতীয়) নেওয়া এবং ডানদিকের সংখ্যা, বাম দিকের সংখ্যা থেকে বিয়োগ করা যথেষ্ট। এটি এই মত দেখাবে:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, তিনটি ক্ষেত্রেই পার্থক্যটি সত্যিই নেতিবাচক হয়ে উঠেছে। এবং এখন যেহেতু আমরা কমবেশি সংজ্ঞাগুলি খুঁজে পেয়েছি, এটি কীভাবে অগ্রগতি বর্ণনা করা হয় এবং তাদের কী বৈশিষ্ট্য রয়েছে তা নির্ধারণ করার সময় এসেছে।

অগ্রগতির সদস্য এবং পুনরাবৃত্ত সূত্র

যেহেতু আমাদের ক্রমগুলির উপাদানগুলিকে পরিবর্তন করা যায় না, তাই তাদের সংখ্যা করা যেতে পারে:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right\)\]

এই সেটের পৃথক উপাদানগুলিকে অগ্রগতির সদস্য বলা হয়। তারা একটি সংখ্যার সাহায্যে এইভাবে নির্দেশিত হয়: প্রথম সদস্য, দ্বিতীয় সদস্য, এবং তাই।

উপরন্তু, আমরা ইতিমধ্যে জানি, অগ্রগতির প্রতিবেশী সদস্যরা সূত্র দ্বারা সম্পর্কিত:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

সংক্ষেপে, অগ্রগতির $n$তম পদটি খুঁজে পেতে, আপনাকে $n-1$তম পদ এবং $d$ পার্থক্য জানতে হবে। এই জাতীয় সূত্রকে পুনরাবৃত্ত বলা হয়, কারণ এর সাহায্যে আপনি যে কোনও সংখ্যা খুঁজে পেতে পারেন, কেবলমাত্র পূর্ববর্তীটি (এবং প্রকৃতপক্ষে, সমস্ত পূর্ববর্তীগুলি) জেনে। এটি খুবই অসুবিধাজনক, তাই একটি আরও জটিল সূত্র রয়েছে যা যেকোনো গণনাকে প্রথম মেয়াদে এবং পার্থক্য কমিয়ে দেয়:

\[(a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

আপনি সম্ভবত আগে এই সূত্র জুড়ে আসা. তারা এটি সব ধরণের রেফারেন্স বই এবং রেশবনিকগুলিতে দিতে পছন্দ করে। এবং গণিতের উপর যেকোন সংবেদনশীল পাঠ্যপুস্তকে, এটি প্রথমগুলির মধ্যে একটি।

যাইহোক, আমি আপনাকে একটু অনুশীলন করার পরামর্শ দিই।

টাস্ক নম্বর 1। পাটিগণিতের অগ্রগতির প্রথম তিনটি পদ লিখুন $\left(((a)_(n)) \right)$ যদি $((a)_(1))=8,d=-5$।

সিদ্ধান্ত. সুতরাং, আমরা প্রথম শব্দটি জানি $((a)_(1))=8$ এবং অগ্রগতির পার্থক্য $d=-5$। আসুন এইমাত্র দেওয়া সূত্রটি ব্যবহার করি এবং $n=1$, $n=2$ এবং $n=3$ প্রতিস্থাপন করি:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

উত্তর: (8; 3; -2)

এখানেই শেষ! লক্ষ্য করুন যে আমাদের অগ্রগতি হ্রাস পাচ্ছে।

অবশ্যই, $n=1$ প্রতিস্থাপিত হতে পারে না - আমরা ইতিমধ্যেই প্রথম শব্দটি জানি। যাইহোক, ইউনিট প্রতিস্থাপন করে, আমরা নিশ্চিত করেছি যে প্রথম মেয়াদের জন্যও আমাদের সূত্র কাজ করে। অন্যান্য ক্ষেত্রে, সবকিছু সাধারণ পাটিগণিতের জন্য নেমে এসেছে।

টাস্ক নম্বর 2। একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম তিনটি পদ লিখুন যদি এর সপ্তম পদ −40 হয় এবং সপ্তদশ পদ −50 হয়।

সিদ্ধান্ত. আমরা স্বাভাবিক শর্তাবলীতে সমস্যার শর্ত লিখি:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50।\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(সারিবদ্ধ) \right৷\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(সারিবদ্ধ) \ঠিক।\]

আমি সিস্টেমের চিহ্ন রাখলাম কারণ এই প্রয়োজনীয়তাগুলি একই সাথে পূরণ করতে হবে। এবং এখন আমরা লক্ষ্য করি যে যদি আমরা দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণটি বিয়োগ করি (আমাদের এটি করার অধিকার আছে, কারণ আমাদের একটি সিস্টেম আছে), আমরা এটি পাই:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

ঠিক তেমনই, আমরা অগ্রগতির পার্থক্য খুঁজে পেয়েছি! এটি সিস্টেমের যেকোনো সমীকরণে প্রাপ্ত সংখ্যাটিকে প্রতিস্থাপন করতে রয়ে গেছে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটিতে:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34। \\ \end(ম্যাট্রিক্স)\]

এখন, প্রথম পদ এবং পার্থক্য জেনে, এটি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদ খুঁজে পেতে অবশেষ:

\[\begin(সারিবদ্ধ) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

প্রস্তুত! সমস্যা সমাধান.

উত্তর: (-34; -35; -36)

অগ্রগতির একটি অদ্ভুত বৈশিষ্ট্যে মনোযোগ দিন যা আমরা আবিষ্কার করেছি: যদি আমরা $n$th এবং $m$th পদগুলি নিয়ে থাকি এবং একে অপরের থেকে বিয়োগ করি, তাহলে আমরা $n-m$ সংখ্যা দ্বারা গুণিত অগ্রগতির পার্থক্য পাই:

\[(a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

সহজ কিন্তু খুব দরকারী সম্পত্তি, যা আপনার অবশ্যই জানা দরকার - এর সাহায্যে আপনি অগ্রগতিতে অনেক সমস্যার সমাধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে ত্বরান্বিত করতে পারেন। এখানে এটির একটি প্রধান উদাহরণ:

টাস্ক নম্বর 3। পাটিগণিতের অগ্রগতির পঞ্চম পদ হল 8.4, এবং এর দশম পদ হল 14.4। এই অগ্রগতির পঞ্চদশ পদটি খুঁজুন।

সিদ্ধান্ত. যেহেতু $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, এবং আমাদের খুঁজে বের করতে হবে $((a)_(15))$, আমরা নিম্নলিখিত নোট করি:

\[\begin(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

কিন্তু শর্ত অনুসারে $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, তাই $5d=6$, যেখান থেকে আমাদের আছে:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

উত্তর: 20.4

এখানেই শেষ! আমাদের সমীকরণের কোনো সিস্টেম রচনা করার এবং প্রথম পদ এবং পার্থক্য গণনা করার দরকার নেই - সবকিছু মাত্র কয়েক লাইনে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল।

এখন আসুন অন্য ধরনের সমস্যা বিবেচনা করা যাক - অগ্রগতির নেতিবাচক এবং ইতিবাচক সদস্যদের জন্য অনুসন্ধান। এটি কোনও গোপন বিষয় নয় যে যদি অগ্রগতি বৃদ্ধি পায়, যখন এটির প্রথম মেয়াদটি নেতিবাচক হয়, তবে শীঘ্র বা পরে ইতিবাচক পদ এতে উপস্থিত হবে। এবং তদ্বিপরীত: ক্রমবর্ধমান অগ্রগতির শর্তগুলি শীঘ্র বা পরে নেতিবাচক হয়ে উঠবে।

একই সময়ে, উপাদানগুলির মাধ্যমে ক্রমানুসারে বাছাই করে "কপালে" এই মুহূর্তটি খুঁজে পাওয়া সর্বদা সম্ভব নয়। প্রায়শই, সমস্যাগুলি এমনভাবে ডিজাইন করা হয় যে সূত্রগুলি না জেনেই, গণনাগুলি বেশ কয়েকটি শীট নেয় - আমরা উত্তর না পাওয়া পর্যন্ত আমরা ঘুমিয়ে পড়তাম। অতএব, আমরা এই সমস্যাগুলি দ্রুত সমাধান করার চেষ্টা করব।

টাস্ক নম্বর 4। একটি গাণিতিক অগ্রগতিতে কত নেতিবাচক পদ -38.5; -35.8; …?

সিদ্ধান্ত. সুতরাং, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, যেখান থেকে আমরা অবিলম্বে পার্থক্য খুঁজে পাই:

উল্লেখ্য যে পার্থক্যটি ইতিবাচক, তাই অগ্রগতি বাড়ছে। প্রথম শব্দটি নেতিবাচক, তাই প্রকৃতপক্ষে কিছু সময়ে আমরা ইতিবাচক সংখ্যাগুলিতে হোঁচট খাব। এটা কখন ঘটবে একমাত্র প্রশ্ন।

আসুন খুঁজে বের করার চেষ্টা করি: কতক্ষণ (অর্থাৎ, কোন প্রাকৃতিক সংখ্যা $n$ পর্যন্ত) শর্তগুলির নেতিবাচকতা সংরক্ষণ করা হয়:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ ডান। \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

শেষ লাইনের ব্যাখ্যা প্রয়োজন। তাই আমরা জানি যে $n \lt 15\frac(7)(27)$। অন্যদিকে, সংখ্যাটির শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার মান আমাদের জন্য উপযুক্ত হবে (এছাড়াও: $n\in \mathbb(N)$), তাই সবচেয়ে বড় অনুমোদনযোগ্য সংখ্যাটি সঠিকভাবে $n=15$, এবং কোন ক্ষেত্রেই 16।

টাস্ক নম্বর 5। গাণিতিক অগ্রগতিতে $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। এই অগ্রগতির প্রথম ধনাত্মক পদের সংখ্যা খুঁজুন।

এটি আগেরটির মতো ঠিক একই সমস্যা হবে, কিন্তু আমরা $((a)_(1))$ জানি না। কিন্তু প্রতিবেশী পদগুলি পরিচিত: $((a)_(5))$ এবং $(a)_(6))$, তাই আমরা সহজেই অগ্রগতির পার্থক্য খুঁজে পেতে পারি:

উপরন্তু, আসুন মান সূত্র ব্যবহার করে পঞ্চম পদটিকে প্রথম এবং পার্থক্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করার চেষ্টা করি:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এখন আমরা আগের সমস্যার সাথে সাদৃশ্য দিয়ে এগিয়ে যাই। আমাদের অনুক্রমের কোন পয়েন্টে ইতিবাচক সংখ্যাগুলি উপস্থিত হবে তা আমরা খুঁজে পাই:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min))=56. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এই অসমতার ন্যূনতম পূর্ণসংখ্যার সমাধান হল 56 নম্বর।

দয়া করে মনে রাখবেন যে শেষ টাস্কে সবকিছু কঠোর অসমতায় হ্রাস করা হয়েছিল, তাই $n=55$ বিকল্পটি আমাদের জন্য উপযুক্ত হবে না।

এখন যেহেতু আমরা শিখেছি কিভাবে সহজ সমস্যাগুলি সমাধান করতে হয়, আসুন আরও জটিল সমস্যাগুলিতে এগিয়ে যাই। তবে প্রথমে, আসুন পাটিগণিতের অগ্রগতির আরেকটি খুব দরকারী বৈশিষ্ট্য শিখি, যা ভবিষ্যতে আমাদের অনেক সময় এবং অসম কোষ বাঁচাবে। :)

পাটিগণিতের গড় এবং সমান ইন্ডেন্ট

ক্রমবর্ধমান গাণিতিক অগ্রগতির কয়েকটি পরপর পদ বিবেচনা করুন $\left(((a)_(n)) \right)$। আসুন একটি সংখ্যা লাইনে তাদের চিহ্নিত করার চেষ্টা করি:

সংখ্যারেখায় পাটিগণিতের অগ্রগতি সদস্য

আমি বিশেষভাবে স্বেচ্ছাচারী সদস্যদের উল্লেখ করেছি $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, এবং কোন $((a)_(1)) নয় , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ইত্যাদি। কারণ নিয়ম, যা আমি এখন আপনাকে বলব, যে কোনো "সেগমেন্ট" এর জন্য একই কাজ করে।

আর নিয়মটা খুবই সহজ। আসুন পুনরাবৃত্ত সূত্রটি মনে রাখি এবং সমস্ত চিহ্নিত সদস্যদের জন্য এটি লিখে রাখি:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

যাইহোক, এই সমতা ভিন্নভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আচ্ছা, তাই কি? কিন্তু সত্য যে $((a)_(n-1))$ এবং $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত . এবং এই দূরত্ব $d$ এর সমান। একই কথা বলা যেতে পারে $((a)_(n-2))$ এবং $((a)_(n+2))$ - এগুলি $((a)_(n) থেকেও সরানো হয়েছে )$ একই দূরত্ব দ্বারা সমান $2d$। আপনি অনির্দিষ্টকালের জন্য চালিয়ে যেতে পারেন, তবে ছবিটি অর্থটি ভালভাবে ব্যাখ্যা করে

অগ্রগতির সদস্যরা কেন্দ্র থেকে একই দূরত্বে অবস্থান করে

এটা আমাদের জন্য কি অর্থ বহন করে? এর মানে হল যে আপনি $((a)_(n))$ খুঁজে পেতে পারেন যদি প্রতিবেশী নম্বরগুলি জানা থাকে:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

আমরা একটি দুর্দান্ত বিবৃতি বের করেছি: একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রতিটি সদস্য প্রতিবেশী সদস্যদের পাটিগণিত গড়ের সমান! তাছাড়া, আমরা আমাদের $((a)_(n))$ থেকে বাম এবং ডানদিকে এক ধাপে নয়, $k$ ধাপে বিচ্যুত হতে পারি — এবং তারপরও সূত্রটি সঠিক হবে:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

সেগুলো. আমরা সহজেই কিছু $((a)_(150))$ খুঁজে পেতে পারি যদি আমরা $((a)_(100))$ এবং $((a)_(200))$ জানি, কারণ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$। প্রথম নজরে, মনে হতে পারে যে এই সত্যটি আমাদের দরকারী কিছু দেয় না। যাইহোক, অনুশীলনে, পাটিগণিত গড় ব্যবহারের জন্য অনেক কাজ বিশেষভাবে "তীক্ষ্ণ" করা হয়। দেখা যাক:

টাস্ক নম্বর 6। $x$ এর সমস্ত মান খুঁজুন যেমন $-6((x)^(2))$, $x+1$ এবং $14+4((x)^(2))$ এর পরপর সদস্য। একটি গাণিতিক অগ্রগতি (নির্দিষ্ট ক্রমে)।

সিদ্ধান্ত. যেহেতু এই সংখ্যাগুলি একটি অগ্রগতির সদস্য, তাই গাণিতিক গড় অবস্থা তাদের জন্য সন্তুষ্ট: কেন্দ্রীয় উপাদান $x+1$ প্রতিবেশী উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-(x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

ফলাফল হল একটি ক্লাসিক দ্বিঘাত সমীকরণ। এর মূল: $x=2$ এবং $x=-3$ হল উত্তর।

উত্তর:-3; 2.

টাস্ক নম্বর 7। $$ এর মানগুলি খুঁজে বের করুন যাতে $-1;4-3;(()^(2))+1$ একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে (সেই ক্রমে)।

সিদ্ধান্ত. আবার, আমরা প্রতিবেশী পদগুলির গাণিতিক গড়ের পরিপ্রেক্ষিতে মধ্যবর্তী শব্দটিকে প্রকাশ করি:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\ right.; \\ & 8x-6=(x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আরেকটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এবং আবার দুটি মূল: $x=6$ এবং $x=1$।

উত্তর 1; 6.

যদি কোনও সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ায় আপনি কিছু নৃশংস সংখ্যা পান, বা আপনি পাওয়া উত্তরগুলির সঠিকতা সম্পর্কে সম্পূর্ণরূপে নিশ্চিত না হন, তবে একটি দুর্দান্ত কৌশল রয়েছে যা আপনাকে পরীক্ষা করতে দেয়: আমরা কি সঠিকভাবে সমস্যার সমাধান করেছি?

ধরা যাক সমস্যা 6-এ আমরা উত্তর পেয়েছি -3 এবং 2। আমরা কিভাবে পরীক্ষা করতে পারি যে এই উত্তরগুলো সঠিক? আসুন কেবল তাদের মূল অবস্থায় প্লাগ করি এবং দেখুন কি হয়। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমাদের তিনটি সংখ্যা ($-6(()^(2))$, $+1$ এবং $14+4(()^(2))$), যা একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করবে। প্রতিস্থাপন $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আমরা সংখ্যা পেয়েছি -54; −2; 50 যেটি 52 দ্বারা পৃথক হয় নিঃসন্দেহে একটি গাণিতিক অগ্রগতি। একই জিনিস $x=2$ এর জন্য ঘটে:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আবার একটি অগ্রগতি, কিন্তু 27 এর পার্থক্যের সাথে। এইভাবে, সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে। যারা ইচ্ছুক তারা নিজেরাই দ্বিতীয় কাজটি পরীক্ষা করতে পারেন, তবে আমি এখনই বলব: সেখানেও সবকিছু সঠিক।

সাধারণভাবে, শেষ কাজগুলি সমাধান করার সময়, আমরা অন্যটিতে হোঁচট খেয়েছি মজার ব্যাপার, যা মনে রাখা প্রয়োজন:

যদি তিনটি সংখ্যা এমন হয় যে দ্বিতীয়টি প্রথম এবং শেষের গড়, তাহলে এই সংখ্যাগুলি একটি গাণিতিক অগ্রগতি তৈরি করে।

ভবিষ্যতে, এই বিবৃতিটি বোঝা আমাদের আক্ষরিকভাবে সমস্যার অবস্থার উপর ভিত্তি করে প্রয়োজনীয় অগ্রগতিগুলি "নির্মাণ" করার অনুমতি দেবে। কিন্তু আমরা এই ধরনের একটি "নির্মাণ" করার আগে, আমাদের আরও একটি সত্যের দিকে মনোযোগ দেওয়া উচিত, যা ইতিমধ্যে যা বিবেচনা করা হয়েছে তা সরাসরি অনুসরণ করে।

গ্রুপিং এবং উপাদানের যোগফল

আসুন আবার সংখ্যা লাইনে ফিরে যাই। আমরা সেখানে অগ্রগতির বেশ কয়েকটি সদস্যকে নোট করি, যার মধ্যে, সম্ভবত। অন্যান্য সদস্যদের অনেক মূল্য:

সংখ্যা রেখায় 6টি উপাদান চিহ্নিত

আসুন "বাম লেজ" কে $((a)_(n))$ এবং $d$ এবং "ডান লেজ" কে $((a)_(k))$ এবং $ এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করার চেষ্টা করি d$ এটা খুবই সাধারণ:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এখন লক্ষ্য করুন যে নিম্নলিখিত যোগফল সমান:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= এস; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= এস. \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

সহজ কথায়, যদি আমরা অগ্রগতির দুটি উপাদানকে প্রারম্ভিক হিসাবে বিবেচনা করি, যেগুলি মোট কিছু সংখ্যা $S$ এর সমান, এবং তারপরে আমরা এই উপাদানগুলি থেকে বিপরীত দিকে পা দেওয়া শুরু করি (একে অপরের দিকে বা বিপরীত দিকে সরে যেতে) তারপর আমরা যে উপাদানগুলিতে হোঁচট খাব তার যোগফলও সমান হবে$S$। এটি গ্রাফিকভাবে সবচেয়ে ভালোভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

একই ইন্ডেন্ট সমান রাশি দেয়

বোঝাপড়া এই ঘটনাআমরা উপরে যেগুলি বিবেচনা করেছি তার চেয়ে মৌলিকভাবে উচ্চ স্তরের জটিলতার সমস্যাগুলি সমাধান করতে আমাদের অনুমতি দেবে। উদাহরণস্বরূপ, এইগুলি:

টাস্ক নম্বর 8। একটি গাণিতিক অগ্রগতির পার্থক্য নির্ণয় করুন যেখানে প্রথম পদটি 66, এবং দ্বিতীয় এবং দ্বাদশ পদের গুণফল সম্ভাব্য সবচেয়ে ছোট।

সিদ্ধান্ত. আসুন আমরা যা জানি তা লিখি:

\[\begin(সারিবদ্ধ) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

সুতরাং, আমরা $d$ অগ্রগতির পার্থক্য জানি না। প্রকৃতপক্ষে, পুরো সমাধানটি পার্থক্যের চারপাশে তৈরি করা হবে, যেহেতু পণ্য $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ নিম্নরূপ পুনরায় লেখা যেতে পারে:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

ট্যাঙ্কে যারা আছে তাদের জন্য: আমি দ্বিতীয় বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর 11 নিয়েছি। এইভাবে, কাঙ্খিত পণ্যটি $d$ পরিবর্তনশীলের সাথে একটি দ্বিঘাত ফাংশন। অতএব, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$-এর গ্রাফটি বিবেচনা করুন - এর গ্রাফটি হবে একটি প্যারাবোলা যার শাখাগুলি উপরে থাকবে, কারণ যদি আমরা বন্ধনী খুলি, আমরা পাই:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সর্বোচ্চ পদের সহগ হল 11 - এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাই আমরা সত্যিই শাখাগুলি সহ একটি প্যারাবোলা নিয়ে কাজ করছি:

সময়সূচী দ্বিঘাত ফাংশন- পরাবৃত্ত

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: এই প্যারাবোলাটি তার শীর্ষবিন্দুতে অ্যাবসিসা $((d)_(0))$ এর সাথে তার সর্বনিম্ন মান নেয়। অবশ্যই, আমরা স্ট্যান্ডার্ড স্কিম অনুযায়ী এই অ্যাবসিসা গণনা করতে পারি (একটি সূত্র আছে $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), তবে এটি অনেক বেশি যুক্তিসঙ্গত হবে মনে রাখবেন যে কাঙ্ক্ষিত শীর্ষবিন্দুটি প্যারাবোলার অক্ষের প্রতিসাম্যের উপর অবস্থিত, তাই বিন্দু $((d)_(0))$ সমীকরণের মূল থেকে সমান দূরত্ব $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এই কারণেই আমি বন্ধনীগুলি খুলতে তাড়াহুড়ো করিনি: মূল আকারে, শিকড়গুলি খুব, খুব সহজে খুঁজে পাওয়া যায়। অতএব, অ্যাবসিসা −66 এবং −6 সংখ্যার পাটিগণিত গড়ের সমান:

\[(d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

কি আমাদের আবিষ্কৃত সংখ্যা দেয়? এটির সাথে, প্রয়োজনীয় পণ্যটি সবচেয়ে ছোট মান নেয় (যাইহোক, আমরা $((y)_(\min ))$ গণনা করিনি - এটি আমাদের প্রয়োজন হয় না)। একই সময়ে, এই সংখ্যাটি প্রাথমিক অগ্রগতির পার্থক্য, অর্থাৎ আমরা উত্তর খুঁজে পেয়েছি। :)

উত্তর:-36

টাস্ক নম্বর 9। $-\frac(1)(2)$ এবং $-\frac(1)(6)$ সংখ্যাগুলির মধ্যে তিনটি সংখ্যা সন্নিবেশ করান যাতে প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সাথে তারা একটি গাণিতিক অগ্রগতি তৈরি করে।

সিদ্ধান্ত. আসলে, আমাদের পাঁচটি সংখ্যার একটি ক্রম তৈরি করতে হবে, প্রথম এবং শেষ সংখ্যাটি ইতিমধ্যেই জানা আছে। $x$, $y$ এবং $z$ ভেরিয়েবল দ্বারা অনুপস্থিত সংখ্যাগুলি নির্দেশ করুন:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

মনে রাখবেন যে $y$ সংখ্যাটি আমাদের ক্রমটির "মাঝামাঝি" - এটি $x$ এবং $z$ এবং $-\frac(1)(2)$ এবং $-\frac সংখ্যা থেকে সমান দূরত্বের (1)(6)$। এবং যদি $x$ এবং $z$ সংখ্যা থেকে আমরা আছি এই মুহূর্তেআমরা $y$ পেতে পারি না, তাহলে অগ্রগতির শেষের সাথে পরিস্থিতি ভিন্ন। গাণিতিক মানে মনে রাখবেন:

এখন, $y$ জেনে, আমরা অবশিষ্ট সংখ্যাগুলি খুঁজে পাব। নোট করুন যে $x$ $-\frac(1)(2)$ এবং $y=-\frac(1)(3)$ এর মধ্যে রয়েছে। তাই

একইভাবে তর্ক করে, আমরা অবশিষ্ট সংখ্যা খুঁজে পাই:

প্রস্তুত! আমরা তিনটি সংখ্যা খুঁজে পেয়েছি। আসল সংখ্যার মধ্যে যে ক্রমে ঢোকানো উচিত সেগুলি উত্তরে লিখি।

উত্তর: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

টাস্ক নম্বর 10। সংখ্যা 2 এবং 42 এর মধ্যে, বেশ কয়েকটি সংখ্যা সন্নিবেশ করান যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সাথে একসাথে একটি গাণিতিক অগ্রগতি তৈরি করে, যদি এটি জানা যায় যে সন্নিবেশিত সংখ্যাগুলির প্রথম, দ্বিতীয় এবং শেষের যোগফল 56।

সিদ্ধান্ত. আরও বেশি কঠিন কাজ, যা, যাইহোক, আগেরগুলির মতো একইভাবে সমাধান করা হয় - পাটিগণিত গড়ের মাধ্যমে। সমস্যা হল আমরা জানি না ঠিক কত সংখ্যা সন্নিবেশ করাতে হবে। অতএব, সুনির্দিষ্টতার জন্য, আমরা অনুমান করি যে সন্নিবেশ করার পরে ঠিক $n$ সংখ্যা থাকবে, এবং তাদের মধ্যে প্রথমটি হল 2, এবং শেষটি হল 42৷ এই ক্ষেত্রে, কাঙ্খিত গাণিতিক অগ্রগতিটি এইভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

তবে, মনে রাখবেন যে $((a)_(2))$ এবং $((a)_(n-1))$ নম্বরগুলি 2 এবং 42 নম্বরগুলি থেকে একে অপরের দিকে এক ধাপ এগিয়ে প্রান্তে দাঁড়িয়ে আছে। , অর্থাৎ অনুক্রমের কেন্দ্রে। এবং এই যে মানে

\[(a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

কিন্তু তারপর উপরের অভিব্যক্তিটি এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

$((a)_(3))$ এবং $((a)_(1))$ জেনে, আমরা সহজেই অগ্রগতির পার্থক্য খুঁজে পেতে পারি:

\[\begin(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এটি শুধুমাত্র অবশিষ্ট সদস্যদের খুঁজে পেতে অবশেষ:

\[\begin(সারিবদ্ধ) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এইভাবে, ইতিমধ্যে 9ম ধাপে আমরা ক্রমটির বাম প্রান্তে চলে আসব - 42 নম্বর। মোট, শুধুমাত্র 7টি সংখ্যা সন্নিবেশ করাতে হয়েছিল: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37।

উত্তর: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

অগ্রগতি সহ পাঠ্য কার্য

উপসংহারে, আমি কয়েকটি বিবেচনা করতে চাই সহজ কাজ. ঠিক আছে, সহজ হিসাবে: বেশিরভাগ ছাত্র যারা স্কুলে গণিত অধ্যয়ন করে এবং উপরে যা লেখা আছে তা পড়েনি, এই কাজগুলি একটি অঙ্গভঙ্গির মতো মনে হতে পারে। তবুও, এটি ঠিক এই ধরনের কাজ যা OGE এবং গণিতে ব্যবহার করে, তাই আমি আপনাকে তাদের সাথে নিজেকে পরিচিত করার পরামর্শ দিচ্ছি।

টাস্ক নম্বর 11। দলটি জানুয়ারিতে 62টি যন্ত্রাংশ তৈরি করেছিল এবং পরবর্তী প্রতিটি মাসে তারা আগেরটির তুলনায় 14টি বেশি যন্ত্রাংশ তৈরি করেছিল। নভেম্বর মাসে ব্রিগেড কয়টি অংশ তৈরি করেছিল?

সিদ্ধান্ত. স্পষ্টতই, অংশের সংখ্যা, মাস দ্বারা আঁকা, একটি ক্রমবর্ধমান গাণিতিক অগ্রগতি হবে। এবং:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

নভেম্বর হল বছরের 11 তম মাস, তাই আমাদের খুঁজে বের করতে হবে $((a)_(11))$:

\[(a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

তাই নভেম্বরে ২০২টি যন্ত্রাংশ তৈরি করা হবে।

টাস্ক নম্বর 12। বুকবাইন্ডিং ওয়ার্কশপ জানুয়ারিতে 216টি বই আবদ্ধ করে এবং প্রতি মাসে এটি আগের মাসের তুলনায় 4টি বেশি বই আবদ্ধ করে। ডিসেম্বরে কর্মশালা কয়টি বই বাঁধে?

সিদ্ধান্ত. একই:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ডিসেম্বর হল বছরের শেষ, 12 তম মাস, তাই আমরা $((a)_(12))$ খুঁজছি:

\[(a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

এই উত্তর- ডিসেম্বরে 260টি বই বাঁধা হবে।

ঠিক আছে, আপনি যদি এই পর্যন্ত পড়ে থাকেন তবে আমি আপনাকে অভিনন্দন জানাতে তাড়াতাড়ি করছি: আপনি পাটিগণিতের অগ্রগতিতে "তরুণ ফাইটার কোর্স" সফলভাবে সম্পন্ন করেছেন। আমরা নিরাপদে পরবর্তী পাঠে যেতে পারি, যেখানে আমরা অগ্রগতির সমষ্টি সূত্র অধ্যয়ন করব, সেইসাথে এটি থেকে গুরুত্বপূর্ণ এবং খুব দরকারী ফলাফলগুলিও অধ্যয়ন করব।

সূত্রের সারমর্ম কী?

এই সূত্র আপনাকে খুঁজে পেতে অনুমতি দেয় যেকোনো তার নম্বর দ্বারা" n" .

অবশ্যই, আপনাকে প্রথম শব্দটি জানতে হবে একটি 1এবং অগ্রগতির পার্থক্য d, ভাল, এই পরামিতিগুলি ছাড়া, আপনি একটি নির্দিষ্ট অগ্রগতি লিখতে পারবেন না।

এই সূত্রটি মুখস্থ করা (বা ঠকানো) যথেষ্ট নয়। এর সারমর্মকে আত্মীকরণ করা এবং বিভিন্ন সমস্যায় সূত্রটি প্রয়োগ করা প্রয়োজন। হ্যাঁ, এবং সঠিক সময়ে ভুলবেন না, হ্যাঁ ...) কিভাবে ভুল না- আমি জানি না। এবং এখানে কিভাবে মনে রাখবেনযদি প্রয়োজন হয়, আমি আপনাকে একটি ইঙ্গিত দেব. যারা শেষ পর্যন্ত পাঠটি আয়ত্ত করেন তাদের জন্য।)

সুতরাং, আসুন একটি গাণিতিক অগ্রগতির n-তম সদস্যের সূত্রটি নিয়ে কাজ করি।

সাধারণভাবে একটি সূত্র কী - আমরা কল্পনা করি।) একটি গাণিতিক অগ্রগতি কী, একটি সদস্য সংখ্যা, একটি অগ্রগতি পার্থক্য - পূর্ববর্তী পাঠে স্পষ্টভাবে বলা হয়েছে। না পড়ে থাকলে দেখে নিন। সেখানে সবকিছুই সহজ। এটা কি চিন্তা অবশেষ nম সদস্য.

সাধারণভাবে অগ্রগতি সংখ্যার একটি সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে:

একটি 1, একটি 2, একটি 3, একটি 4, একটি 5, .....

একটি 1- একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম পদটি বোঝায়, একটি 3- তৃতীয় সদস্য একটি 4- চতুর্থ, এবং তাই। আমরা যদি পঞ্চম মেয়াদে আগ্রহী হই, তাহলে ধরা যাক আমরা কাজ করছি একটি 5, যদি একশত বিংশতম - থেকে একটি 120.

কিভাবে সাধারণভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় যেকোনোএকটি গাণিতিক অগ্রগতির সদস্য, এস যেকোনোসংখ্যা? খুব সহজ! এটার মত:

একটি

ওইটাই সেটা একটি গাণিতিক অগ্রগতির n-তম সদস্য। n অক্ষরের অধীনে সমস্ত সদস্য সংখ্যা একবারে লুকিয়ে আছে: 1, 2, 3, 4, এবং আরও অনেক কিছু।

এবং এই ধরনের রেকর্ড আমাদের কি দেয়? একটু চিন্তা করুন, একটি সংখ্যার পরিবর্তে, তারা একটি চিঠি লিখেছিল ...

এই স্বরলিপি আমাদের গাণিতিক অগ্রগতির সাথে কাজ করার জন্য একটি শক্তিশালী হাতিয়ার দেয়। স্বরলিপি ব্যবহার করে একটি, আমরা দ্রুত খুঁজে পেতে পারেন যেকোনোসদস্য যেকোনোগাণিতিক অগ্রগতি। এবং অগ্রগতিতে সমাধান করার জন্য একগুচ্ছ কাজ। আপনি আরও দেখতে পাবেন।

একটি গাণিতিক অগ্রগতির তম সদস্যের সূত্রে:

a n = a 1 + (n-1)d

একটি 1- গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম সদস্য;

n- সদস্য সংখ্যা.

সূত্রটি যেকোনো অগ্রগতির মূল পরামিতিগুলিকে লিঙ্ক করে: একটি ; একটি 1; dএবং n. এই পরামিতিগুলির চারপাশে, সমস্ত ধাঁধাগুলি অগ্রগতিতে আবর্তিত হয়।

nম শব্দ সূত্রটি একটি নির্দিষ্ট অগ্রগতি লিখতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমস্যাটিতে বলা যেতে পারে যে অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়:

a n = 5 + (n-1) 2.

এই ধরনের একটি সমস্যা এমনকি বিভ্রান্ত করতে পারে ... কোন সিরিজ নেই, কোন পার্থক্য নেই ... তবে, সূত্রের সাথে শর্তের তুলনা করলে, এই অগ্রগতিতে এটি বের করা সহজ a 1 \u003d 5, এবং d \u003d 2।

এবং এটি আরও রাগান্বিত হতে পারে!) যদি আমরা একই শর্ত গ্রহণ করি: a n = 5 + (n-1) 2,হ্যাঁ, বন্ধনী খুলুন এবং অনুরূপ দিন? আমরা একটি নতুন সূত্র পাই:

an = 3 + 2n।

এই শুধুমাত্র সাধারণ নয়, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট অগ্রগতির জন্য। এখানেই বিপত্তি। কিছু লোক মনে করেন যে প্রথম পদটি একটি তিনটি। যদিও বাস্তবে প্রথম সদস্য একটি পাঁচ... একটু কম আমরা এমন একটি পরিবর্তিত সূত্র নিয়ে কাজ করব।

অগ্রগতির জন্য কাজগুলিতে, আরেকটি স্বরলিপি রয়েছে - একটি n+1. এটি, আপনি এটি অনুমান করেছেন, অগ্রগতির "n প্লাস প্রথম" শব্দটি। এর অর্থ সহজ এবং নিরীহ।) এটি অগ্রগতির একটি সদস্য, যার সংখ্যা এক দ্বারা n সংখ্যার চেয়ে বেশি। উদাহরণস্বরূপ, কিছু সমস্যা হলে আমরা জন্য নিতে একটিপঞ্চম মেয়াদ, তারপর একটি n+1ষষ্ঠ সদস্য হবেন। ইত্যাদি।

প্রায়ই পদবী একটি n+1পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্রে ঘটে। এই ভয়ানক শব্দ ভয় পাবেন না!) এটি একটি গাণিতিক অগ্রগতির একটি শব্দ প্রকাশ করার একটি উপায় মাত্র আগেরটির মাধ্যমে।ধরুন আমাদের এই ফর্মটিতে একটি গাণিতিক অগ্রগতি দেওয়া হয়েছে, পুনরাবৃত্ত সূত্র ব্যবহার করে:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

চতুর্থ - তৃতীয় মাধ্যমে, পঞ্চম - চতুর্থ মাধ্যমে, এবং তাই। এবং অবিলম্বে কিভাবে গণনা করা যায়, বিংশতম পদটি বলুন, একটি 20? কিন্তু কোন উপায় নেই!) 19 তম পদটি জানা না গেলেও 20 তমটি গণনা করা যাবে না। এটি পুনরাবৃত্ত সূত্র এবং nম পদের সূত্রের মধ্যে মৌলিক পার্থক্য। পুনরাবৃত্ত কাজ শুধুমাত্র মাধ্যমে আগেপদ, এবং nম পদের সূত্র - মাধ্যমে প্রথমএবং অনুমতি দেয় সোজাসুজিযে কোন সদস্যকে তার নম্বর দিয়ে খুঁজে বের করুন। ক্রমানুসারে সংখ্যার পুরো সিরিজ গণনা করা হচ্ছে না।

একটি গাণিতিক অগ্রগতিতে, একটি পুনরাবৃত্ত সূত্রকে নিয়মিত একটিতে পরিণত করা সহজ। পরপর পদের একটি জোড়া গণনা করুন, পার্থক্য গণনা করুন ডি,যদি প্রয়োজন হয়, প্রথম টার্ম খুঁজুন একটি 1, স্বাভাবিক আকারে সূত্রটি লিখুন এবং এটির সাথে কাজ করুন। জিআইএ-তে, এই ধরনের কাজগুলি প্রায়ই পাওয়া যায়।

একটি গাণিতিক অগ্রগতির n-তম সদস্যের সূত্রের প্রয়োগ।

প্রথমত, সূত্রের সরাসরি প্রয়োগ দেখি। পূর্ববর্তী পাঠের শেষে একটি সমস্যা ছিল:

একটি গাণিতিক অগ্রগতি দেওয়া (a n)। একটি 121 খুঁজুন যদি a 1 =3 এবং d=1/6 হয়।

এই সমস্যাটি কোনও সূত্র ছাড়াই সমাধান করা যেতে পারে, কেবলমাত্র গাণিতিক অগ্রগতির অর্থের উপর ভিত্তি করে। যোগ করুন, হ্যাঁ যোগ করুন... এক বা দুই ঘন্টা।)

এবং সূত্র অনুযায়ী, সমাধান এক মিনিটেরও কম সময় লাগবে। আপনি সময় করতে পারেন।) আমরা সিদ্ধান্ত নিই।

শর্তগুলি সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য সমস্ত ডেটা প্রদান করে: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6।এটা কি দেখতে অবশেষ nসমস্যা নেই! আমাদের খুঁজে বের করতে হবে একটি 121. এখানে আমরা লিখি:

মনোযোগ দিবেন দয়া করে! একটি সূচকের পরিবর্তে nএকটি নির্দিষ্ট সংখ্যা উপস্থিত হয়েছে: 121। যা বেশ যৌক্তিক।) আমরা পাটিগণিতের অগ্রগতির সদস্যে আগ্রহী একশত একুশ নম্বর।এই আমাদের হবে nএটি এই অর্থ n= 121 আমরা আরও সূত্রে, বন্ধনীতে প্রতিস্থাপন করব। সূত্রের সমস্ত সংখ্যা প্রতিস্থাপন করুন এবং গণনা করুন:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

এখানেই শেষ এটা পেতে ওখানে যাও. ঠিক যেমন দ্রুত একজন পাঁচশো দশম সদস্য এবং হাজার এবং তৃতীয় সদস্যকে খুঁজে পেতে পারে। আমরা পরিবর্তে রাখা nচিঠির সূচীতে পছন্দসই সংখ্যা " একটি"এবং বন্ধনী, এবং আমরা বিবেচনা.

আমাকে আপনাকে সারমর্ম মনে করিয়ে দেওয়া যাক: এই সূত্রটি আপনাকে খুঁজে পেতে দেয় যেকোনোএকটি গাণিতিক অগ্রগতির শব্দ তার নম্বর দ্বারা" n" .

আসুন সমস্যাটি আরও স্মার্ট সমাধান করি। ধরা যাক আমাদের নিম্নলিখিত সমস্যা আছে:

পাটিগণিত অগ্রগতির প্রথম পদটি খুঁজুন (a n) যদি a 17 =-2; d=-0.5।

যদি আপনার কোন অসুবিধা থাকে, আমি প্রথম পদক্ষেপের পরামর্শ দেব। একটি গাণিতিক অগ্রগতির nম পদের সূত্রটি লেখ!হ্যা হ্যা. আপনার নোটবুকে ডান হাতে লিখুন:

a n = a 1 + (n-1)d

এবং এখন, সূত্রের অক্ষরগুলি দেখে আমরা বুঝতে পারি যে আমাদের কাছে কী ডেটা আছে এবং কী অনুপস্থিত? পাওয়া যায় d=-0.5,সপ্তদশ সদস্য আছে... সবকিছু? আপনি যদি মনে করেন যে এটিই সব, তাহলে আপনি সমস্যার সমাধান করতে পারবেন না, হ্যাঁ ...

আমাদেরও একটা নম্বর আছে n! অবস্থায় a 17 =-2গোপন দুটি বিকল্প।এটি সপ্তদশ সদস্যের মান (-2) এবং এর সংখ্যা (17) উভয়ই। সেগুলো. n=17।এই "সামান্য জিনিস" প্রায়শই মাথার উপর দিয়ে চলে যায় এবং এটি ছাড়া, ("সামান্য জিনিস" ছাড়া, মাথা নয়!) সমস্যার সমাধান করা যায় না। যদিও ... এবং মাথা ছাড়াই।)

এখন আমরা নির্বোধভাবে আমাদের ডেটা সূত্রে প্রতিস্থাপন করতে পারি:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

হ্যাঁ, একটি 17আমরা জানি এটা -2. ঠিক আছে, আসুন এটি রাখি:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

যে, সারাংশ, সব. এটি সূত্র থেকে গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম পদটি প্রকাশ করতে এবং গণনা করতে রয়ে গেছে। আপনি উত্তর পাবেন: a 1 = 6।

এই ধরনের একটি কৌশল - একটি সূত্র লেখা এবং সহজভাবে পরিচিত ডেটা প্রতিস্থাপন - সহজ কাজগুলিতে অনেক সাহায্য করে। ঠিক আছে, আপনি অবশ্যই, একটি সূত্র থেকে একটি পরিবর্তনশীল প্রকাশ করতে সক্ষম হবেন, কিন্তু কি করবেন!? এই দক্ষতা ছাড়া, গণিত মোটেই পড়া যায় না ...

আরেকটি জনপ্রিয় সমস্যা:

পাটিগণিতের অগ্রগতির পার্থক্য নির্ণয় করুন (a n) যদি a 1 =2; a 15 = 12।

আমরা কি করছি? আপনি অবাক হবেন, আমরা সূত্র লিখি!)

a n = a 1 + (n-1)d

আমরা যা জানি তা বিবেচনা করুন: a 1 = 2; a 15 = 12; এবং (বিশেষ হাইলাইট!) n=15। সূত্রে প্রতিস্থাপন করতে নির্দ্বিধায়:

12=2 + (15-1)d

আসুন পাটিগণিত করি।)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

এটা সঠিক উত্তর.

সুতরাং, কাজ a n, a 1এবং dসিদ্ধান্ত নিয়েছে সংখ্যাটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা শিখতে বাকি রয়েছে:

99 নম্বরটি একটি পাটিগণিত অগ্রগতির সদস্য (a n), যেখানে একটি 1 =12; d=3। এই সদস্য সংখ্যা খুঁজুন.

আমরা nম পদের সূত্রে পরিচিত পরিমাণ প্রতিস্থাপন করি:

a n = 12 + (n-1) 3

প্রথম নজরে, এখানে দুটি অজানা পরিমাণ আছে: একটি n এবং n।কিন্তু একটিসংখ্যার সাথে অগ্রগতির কিছু সদস্য n... আর এই প্রগতির সদস্য আমরা জানি! এটা 99. আমরা তার নম্বর জানি না. n,তাই এই সংখ্যাটিও খুঁজে পাওয়া দরকার। সূত্রে অগ্রগতি শব্দ 99 প্রতিস্থাপন করুন:

99 = 12 + (n-1) 3

আমরা সূত্র থেকে প্রকাশ n, আমরা মনে করি। আমরা উত্তর পাই: n=30।

এবং এখন একই বিষয়ে একটি সমস্যা, কিন্তু আরো সৃজনশীল):

117 নম্বরটি একটি গাণিতিক অগ্রগতির সদস্য হবে কিনা তা নির্ধারণ করুন (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

আবার সূত্র লিখি। কি, কোন পরামিতি আছে? হুম... কেন আমাদের চোখ দরকার?) আমরা কি অগ্রগতির প্রথম সদস্য দেখতে পাচ্ছি? আমরা দেখি. এটি -3.6। আপনি নিরাপদে লিখতে পারেন: a 1 \u003d -3.6।পার্থক্য dসিরিজ থেকে নির্ধারণ করা যাবে? এটি সহজ যদি আপনি জানেন যে একটি গাণিতিক অগ্রগতির পার্থক্য কী:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

হ্যাঁ, আমরা সবচেয়ে সহজ জিনিসটি করেছি। এটি একটি অজানা সংখ্যা মোকাবেলা অবশেষ nএবং একটি বোধগম্য সংখ্যা 117। পূর্ববর্তী সমস্যাটিতে, অন্তত এটি জানা গিয়েছিল যে এটি অগ্রগতির শব্দ যা দেওয়া হয়েছিল। কিন্তু এখানে আমরা সেটাও জানি না... কিভাবে হবে!? আচ্ছা, কিভাবে হতে হবে, কিভাবে হতে হবে... চালু করুন সৃজনশীল দক্ষতা!)

আমরা ধরুনযে 117 সর্বোপরি, আমাদের অগ্রগতির সদস্য। অপরিচিত নাম্বার দিয়ে n. এবং, আগের সমস্যার মতোই, আসুন এই নম্বরটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করি। সেগুলো. আমরা সূত্র লিখি (হ্যাঁ-হ্যাঁ!)) এবং আমাদের সংখ্যা প্রতিস্থাপন করি:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

আবার আমরা সূত্র থেকে প্রকাশ করিn, আমরা গণনা করি এবং পাই:

উফ! নম্বর বের হলো ভগ্নাংশএকশো দেড়শ। এবং অগ্রগতিতে ভগ্নাংশ সংখ্যা হতে পারে না.আমরা কি উপসংহার টানা? হ্যাঁ! সংখ্যা 117 এটি নাআমাদের অগ্রগতির সদস্য। এটি 101 তম এবং 102 তম সদস্যদের মধ্যে কোথাও রয়েছে৷ যদি সংখ্যাটি স্বাভাবিক বলে প্রমাণিত হয়, যেমন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাহলে সংখ্যাটি পাওয়া সংখ্যার সাথে অগ্রগতির সদস্য হবে। এবং আমাদের ক্ষেত্রে, সমস্যার উত্তর হবে: না

জিআইএর একটি বাস্তব সংস্করণের উপর ভিত্তি করে টাস্ক:

গাণিতিক অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়:

a n \u003d -4 + 6.8n

অগ্রগতির প্রথম এবং দশম পদ খুঁজুন।

এখানে অগ্রগতি একটি অস্বাভাবিক উপায়ে সেট করা হয়েছে। কিছু ধরণের সূত্র ... এটি ঘটে।) যাইহোক, এই সূত্রটি (যেমন আমি উপরে লিখেছি) - এছাড়াও একটি গাণিতিক অগ্রগতির n-তম সদস্যের সূত্র!সেও অনুমতি দেয় তার সংখ্যা দ্বারা অগ্রগতির কোনো সদস্য খুঁজে.

আমরা প্রথম সদস্য খুঁজছি. যে চিন্তা করে। যে প্রথম পদটি বিয়োগ চার, মারাত্মক ভুল!) কারণ সমস্যার সূত্রটি পরিবর্তন করা হয়েছে। এটিতে একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম পদ গোপন.কিছুই না, আমরা এখন এটি খুঁজে পাব।)

ঠিক আগের কাজগুলির মতো, আমরা বিকল্প করি n=1এই সূত্রে:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

এখানে! প্রথম পদটি 2.8, নয় -4!

একইভাবে, আমরা দশম পদটি খুঁজছি:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

এখানেই শেষ এটা পেতে ওখানে যাও.

এবং এখন, যারা এই লাইনগুলি পড়েছেন তাদের জন্য প্রতিশ্রুত বোনাস।)

ধরুন, জিআইএ বা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার একটি কঠিন যুদ্ধ পরিস্থিতিতে, আপনি একটি গাণিতিক অগ্রগতির n-ম সদস্যের দরকারী সূত্রটি ভুলে গেছেন। কিছু মনে আসে, কিন্তু একরকম অনিশ্চিত ... কিনা nসেখানে, বা n+1, বা n-1...কিভাবে হবে!?

শান্ত! এই সূত্রটি বের করা সহজ। খুব কঠোর না, কিন্তু নিশ্চিত হতে হবে এবং সঠিক সিদ্ধান্তএটা যথেষ্ট!) উপসংহারের জন্য, গাণিতিক অগ্রগতির প্রাথমিক অর্থ মনে রাখা এবং কয়েক মিনিট সময় থাকা যথেষ্ট। আপনি শুধু একটি ছবি আঁকা প্রয়োজন. স্বচ্ছতার জন্য.

আমরা একটি সংখ্যাসূচক অক্ষ আঁকি এবং এটিতে প্রথমটিকে চিহ্নিত করি। দ্বিতীয়, তৃতীয়, ইত্যাদি সদস্যদের এবং পার্থক্য নোট করুন dসদস্যদের মধ্যে। এটার মত:

আমরা ছবিটির দিকে তাকাই এবং ভাবি: দ্বিতীয় পদটি কী সমান? দ্বিতীয় এক d:

ক 2 =a 1 + 1 d

তৃতীয় পদ কি? তৃতীয়টার্ম প্রথম টার্ম প্লাসের সমান দুই d.

ক 3 =a 1 + 2 d

তুমি কি এটা বুঝতে পেরেছ? আমি কোন কিছুর জন্য কিছু শব্দ বোল্ডে রাখি না। ঠিক আছে, আরও একটি ধাপ।)

চতুর্থ পদ কি? চতুর্থটার্ম প্রথম টার্ম প্লাসের সমান তিন d.

ক 4 =a 1 + 3 d

এটা উপলব্ধি করার সময় যে ফাঁক সংখ্যা, i.e. d, সর্বদা আপনি যে সদস্যকে খুঁজছেন তার চেয়ে এক কম n. অর্থাৎ সংখ্যা পর্যন্ত n, ফাঁক সংখ্যাইচ্ছাশক্তি n-1.সুতরাং, সূত্রটি হবে (কোন বিকল্প নেই!):

a n = a 1 + (n-1)d

সাধারণভাবে, ভিজ্যুয়াল ছবি গণিতের অনেক সমস্যা সমাধানে খুবই সহায়ক। ছবি অবহেলা করবেন না। কিন্তু যদি একটি ছবি আঁকা কঠিন হয়, তাহলে ... শুধুমাত্র একটি সূত্র!) উপরন্তু, nth শব্দের সূত্রটি আপনাকে গণিতের সম্পূর্ণ শক্তিশালী অস্ত্রাগারকে সমাধানের সাথে সংযোগ করতে দেয় - সমীকরণ, অসমতা, সিস্টেম ইত্যাদি। আপনি একটি সমীকরণে একটি ছবি রাখতে পারবেন না...

স্বাধীন সিদ্ধান্তের জন্য কাজ।

ওয়ার্ম আপের জন্য:

1. গাণিতিক অগ্রগতিতে (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1। একটি 3 খুঁজুন.

ইঙ্গিত: ছবি অনুসারে, সমস্যাটি 20 সেকেন্ডের মধ্যে সমাধান করা হয়েছে ... সূত্র অনুসারে, এটি আরও কঠিন হয়ে উঠেছে। তবে সূত্রটি আয়ত্ত করার জন্য, এটি আরও কার্যকর।) 555 ধারায়, এই সমস্যাটি ছবি এবং সূত্র দ্বারা উভয়ই সমাধান করা হয়েছে। পার্থক্য অনুভব!)

এবং এটি আর ওয়ার্ম আপ নয়।)

2. গাণিতিক অগ্রগতিতে (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 = 49, 3. একটি 3 খুঁজুন।

কি, ছবি আঁকতে অনীহা?) তবুও! এটি সূত্রে আরও ভাল, হ্যাঁ ...

3. গাণিতিক অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5। এই অগ্রগতির একশত পঁচিশতম মেয়াদ খুঁজুন।

এই কাজের মধ্যে, অগ্রগতি একটি পুনরাবৃত্ত উপায় দেওয়া হয়. কিন্তু একশত পঁচিশতম মেয়াদ পর্যন্ত গণনা করে... সবাই এমন কীর্তি করতে পারে না।) কিন্তু নবম মেয়াদের ফর্মুলা সবার ক্ষমতার মধ্যে!

4. একটি গাণিতিক অগ্রগতি দেওয়া হয়েছে (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

অগ্রগতির ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পদের সংখ্যা নির্ণয় কর।

5. টাস্ক 4 এর শর্ত অনুসারে, অগ্রগতির ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক এবং বৃহত্তম নেতিবাচক সদস্যের যোগফল নির্ণয় কর।

6. ক্রমবর্ধমান গাণিতিক অগ্রগতির পঞ্চম এবং দ্বাদশ পদের গুণফল হল -2.5, এবং তৃতীয় এবং একাদশ পদের যোগফল শূন্য৷ একটি 14 খুঁজুন.

সবচেয়ে সহজ কাজ নয়, হ্যাঁ ...) এখানে "আঙ্গুলের উপর" পদ্ধতিটি কাজ করবে না। আপনাকে সূত্র লিখতে হবে এবং সমীকরণ সমাধান করতে হবে।

উত্তর (বিশৃঙ্খলায়):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

ঘটেছিলো? এটা সুন্দর!)

সবকিছু কাজ করে না? এটা ঘটে। যাইহোক, শেষ টাস্কে একটি সূক্ষ্ম বিন্দু আছে। সমস্যা পড়ার সময় মনোযোগ দিতে হবে। এবং যুক্তি.

এই সমস্ত সমস্যার সমাধান 555 ধারায় বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছে। এবং চতুর্থটির জন্য ফ্যান্টাসি উপাদান, এবং ষষ্ঠটির জন্য সূক্ষ্ম মুহূর্ত, এবং nম পদের সূত্রের জন্য যে কোনও সমস্যা সমাধানের জন্য সাধারণ পদ্ধতি - সবকিছুই আঁকা হয়েছে। সুপারিশ করুন।

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণগুলি সমাধান করার অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তরটি খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। শেখা - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

বীজগণিত পড়ার সময় সাধারণ শিক্ষা স্কুল(গ্রেড 9) গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল সংখ্যাসূচক ক্রমগুলির অধ্যয়ন, যার মধ্যে অগ্রগতি রয়েছে - জ্যামিতিক এবং পাটিগণিত। এই নিবন্ধে, আমরা সমাধান সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতি এবং উদাহরণ বিবেচনা করব।

একটি গাণিতিক অগ্রগতি কি?

এটি বোঝার জন্য, বিবেচনাধীন অগ্রগতির একটি সংজ্ঞা দেওয়া প্রয়োজন, সেইসাথে মৌলিক সূত্রগুলি দেওয়া যা সমস্যা সমাধানে আরও ব্যবহার করা হবে।

একটি পাটিগণিত বা বীজগণিতের অগ্রগতি হল ক্রম অনুসারে মূলদ সংখ্যাগুলির একটি সেট, যার প্রতিটি সদস্য কিছু ধ্রুবক পরিমাণ দ্বারা পূর্ববর্তী থেকে পৃথক। এই মানটিকে পার্থক্য বলা হয়। অর্থাৎ, সংখ্যার অর্ডারকৃত সিরিজের যেকোনো সদস্য এবং পার্থক্য জেনে আপনি সম্পূর্ণ গাণিতিক অগ্রগতি পুনরুদ্ধার করতে পারেন।

একটা উদাহরণ নেওয়া যাক। সংখ্যার পরবর্তী ক্রমটি একটি গাণিতিক অগ্রগতি হবে: 4, 8, 12, 16, ..., যেহেতু এই ক্ষেত্রে পার্থক্য 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)। কিন্তু 3, 5, 8, 12, 17 সংখ্যার সেটটিকে আর বিবেচনাধীন অগ্রগতির প্রকারের জন্য দায়ী করা যায় না, যেহেতু এটির পার্থক্যটি একটি ধ্রুবক মান নয় (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12)।

গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

আমরা এখন মৌলিক সূত্রগুলি দিই যা একটি গাণিতিক অগ্রগতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজন হবে। একটি n অনুক্রমের nম সদস্যকে বোঝানো যাক, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা। পার্থক্যটি ল্যাটিন অক্ষর d দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। তারপর নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি সত্য:

1. nম পদের মান নির্ধারণ করতে, সূত্রটি উপযুক্ত: a n \u003d (n-1) * d + a 1।
2. প্রথম n পদের যোগফল নির্ণয় করতে: S n = (a n + a 1)*n/2।

গ্রেড 9-এ সমাধান সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতির যে কোনও উদাহরণ বোঝার জন্য, এই দুটি সূত্র মনে রাখা যথেষ্ট, যেহেতু প্রশ্নযুক্ত ধরণের যে কোনও সমস্যা তাদের ব্যবহারের উপর নির্মিত। এছাড়াও, ভুলে যাবেন না যে অগ্রগতির পার্থক্য সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়: d = a n - a n-1 ।

উদাহরণ # 1: একজন অজানা সদস্য খোঁজা

আমরা একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির একটি সহজ উদাহরণ দিই এবং সমাধান করতে যে সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে।

ক্রম 10, 8, 6, 4, ... দেওয়া যাক, এটিতে পাঁচটি পদ খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

এটি ইতিমধ্যেই সমস্যার শর্তাবলী থেকে অনুসরণ করে যে প্রথম 4টি পদ পরিচিত। পঞ্চমটি দুটি উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

1. আসুন প্রথমে পার্থক্যটি গণনা করি। আমাদের আছে: d = 8 - 10 = -2। একইভাবে, কেউ একে অপরের পাশে দাঁড়িয়ে অন্য দুটি পদ নিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, d = 4 - 6 = -2। যেহেতু এটা জানা যায় যে d \u003d a n - a n-1, তারপর d \u003d a 5 - a 4, যেখান থেকে আমরা পাই: a 5 \u003d a 4 + d। আমরা পরিচিত মান প্রতিস্থাপন করি: a 5 = 4 + (-2) = 2।
2. দ্বিতীয় পদ্ধতিতেও প্রশ্নে অগ্রগতির পার্থক্য সম্পর্কে জ্ঞান প্রয়োজন, তাই আপনাকে প্রথমে এটি নির্ধারণ করতে হবে, যেমন উপরে দেখানো হয়েছে (d = -2)। প্রথম পদ a 1 = 10 জেনে আমরা ক্রমটির n সংখ্যার সূত্রটি ব্যবহার করি। আমাদের আছে: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n। শেষ রাশিতে n = 5 প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাব: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, উভয় সমাধান একই ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়। মনে রাখবেন যে এই উদাহরণে অগ্রগতির পার্থক্য d নেতিবাচক। এই ধরনের ক্রমগুলিকে হ্রাস বলা হয় কারণ প্রতিটি ধারাবাহিক পদ আগেরটির থেকে কম।

উদাহরণ #2: অগ্রগতি পার্থক্য

এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক, কিভাবে তার একটা উদাহরণ দিই

এটা জানা যায় যে কিছু 1ম পদ 6 এর সমান, এবং 7 তম পদ 18 এর সমান। পার্থক্যটি খুঁজে বের করা এবং এই ক্রমটি 7 তম পদে পুনরুদ্ধার করা প্রয়োজন।

আসুন অজানা শব্দটি নির্ধারণ করতে সূত্রটি ব্যবহার করি: a n = (n - 1) * d + a 1। আমরা কন্ডিশন থেকে পরিচিত ডেটা প্রতিস্থাপন করি, অর্থাৎ, সংখ্যা a 1 এবং a 7, আমাদের আছে: 18 \u003d 6 + 6 * d। এই অভিব্যক্তি থেকে, আপনি সহজেই পার্থক্যটি গণনা করতে পারেন: d = (18 - 6) / 6 = 2। এইভাবে, সমস্যার প্রথম অংশের উত্তর দেওয়া হয়েছিল।

ক্রমটি 7 তম সদস্যে পুনরুদ্ধার করতে, আপনার বীজগাণিতিক অগ্রগতির সংজ্ঞাটি ব্যবহার করা উচিত, অর্থাৎ, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ইত্যাদি। ফলস্বরূপ, আমরা সম্পূর্ণ ক্রম পুনরুদ্ধার করি: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 এবং 7 = 18।

উদাহরণ #3: একটি অগ্রগতি করা

আসুন আমরা সমস্যার অবস্থাকে আরও জটিল করে তুলি। এখন আপনি কিভাবে একটি গাণিতিক অগ্রগতি খুঁজে পেতে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণ দিতে পারি: দুটি সংখ্যা দেওয়া হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, 4 এবং 5। এটি একটি বীজগণিতীয় অগ্রগতি করা প্রয়োজন যাতে এইগুলির মধ্যে আরও তিনটি পদ খাপ খায়।

এই সমস্যাটি সমাধান করা শুরু করার আগে, প্রদত্ত সংখ্যাগুলি ভবিষ্যতের অগ্রগতিতে কোন স্থান দখল করবে তা বোঝা দরকার। যেহেতু তাদের মধ্যে আরও তিনটি পদ থাকবে, তারপরে একটি 1 \u003d -4 এবং একটি 5 \u003d 5। এটি প্রতিষ্ঠা করার পরে, আমরা একটি টাস্কে এগিয়ে যাই যা আগেরটির মতো। আবার, nম পদের জন্য, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি, আমরা পাই: a 5 \u003d a 1 + 4 * d। থেকে: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25। এখানে আমরা পার্থক্যের একটি পূর্ণসংখ্যার মান পাইনি, তবে এটি মূলদ সংখ্যা, তাই বীজগণিতের অগ্রগতির সূত্রগুলো একই থাকে।

এখন একটি 1 এর সাথে পাওয়া পার্থক্য যোগ করা যাক এবং অগ্রগতির অনুপস্থিত সদস্যদের পুনরুদ্ধার করি। আমরা পাই: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u0,5 যা সমস্যার অবস্থার সাথে মিলে যায়।

উদাহরণ #4: অগ্রগতির প্রথম সদস্য

আমরা একটি সমাধান সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতির উদাহরণ দিতে থাকি। পূর্ববর্তী সমস্ত সমস্যায়, বীজগণিতের অগ্রগতির প্রথম সংখ্যাটি জানা ছিল। এখন একটি ভিন্ন ধরনের সমস্যা বিবেচনা করুন: দুটি সংখ্যা দেওয়া যাক, যেখানে একটি 15 = 50 এবং একটি 43 = 37। এই ক্রমটি কোন সংখ্যা থেকে শুরু হয় তা খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

এখন পর্যন্ত যে সূত্রগুলি ব্যবহার করা হয়েছে সেগুলি একটি 1 এবং d এর জ্ঞান অনুমান করে। সমস্যা অবস্থায় এই সংখ্যা সম্পর্কে কিছুই জানা যায়নি। তবুও, আসুন প্রতিটি পদের জন্য অভিব্যক্তিগুলি লিখি যার সম্পর্কে আমাদের কাছে তথ্য রয়েছে: a 15 = a 1 + 14 * d এবং a 43 = a 1 + 42 * d। আমরা দুটি সমীকরণ পেয়েছি যেখানে 2টি অজানা পরিমাণ রয়েছে (a 1 এবং d)। এর মানে হল যে সমস্যাটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধানে হ্রাস পেয়েছে।

যদি আপনি প্রতিটি সমীকরণে একটি 1 প্রকাশ করেন এবং তারপর ফলাফলের অভিব্যক্তিগুলির তুলনা করেন তবে নির্দিষ্ট সিস্টেমটি সমাধান করা সবচেয়ে সহজ। প্রথম সমীকরণ: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; দ্বিতীয় সমীকরণ: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d। এই অভিব্যক্তিগুলিকে সমান করে, আমরা পাই: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, যেখান থেকে পার্থক্য d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (মাত্র 3 দশমিক স্থান দেওয়া হয়েছে)।

d জেনে, আপনি 1 এর জন্য উপরের 2টি অভিব্যক্তির যে কোনো একটি ব্যবহার করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496।

ফলাফল সম্পর্কে সন্দেহ থাকলে, আপনি এটি পরীক্ষা করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, অগ্রগতির 43 তম সদস্য নির্ধারণ করুন, যা শর্তে নির্দিষ্ট করা হয়েছে। আমরা পাই: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008। একটি ছোট ত্রুটি এই কারণে যে গণনায় হাজারতম থেকে রাউন্ডিং ব্যবহার করা হয়েছিল।

উদাহরণ #5: যোগফল

এখন একটি গাণিতিক অগ্রগতির যোগফলের সমাধান সহ কিছু উদাহরণ দেখি।

দেওয়া হোক সংখ্যাগত অগ্রগতিনিম্নলিখিত ফর্মের: 1, 2, 3, 4, ...,। এই সংখ্যার 100 এর যোগফল কিভাবে গণনা করা যায়?

কম্পিউটার প্রযুক্তির বিকাশের জন্য ধন্যবাদ, এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে, অর্থাৎ, ক্রমানুসারে সমস্ত সংখ্যা যোগ করুন, যা একজন ব্যক্তি এন্টার কী টিপলেই কম্পিউটারটি করবে। যাইহোক, সমস্যাটি মানসিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে যদি আপনি মনোযোগ দেন যে সংখ্যার উপস্থাপিত সিরিজটি একটি বীজগণিতীয় অগ্রগতি, এবং এর পার্থক্য হল 1। যোগফলের সূত্রটি প্রয়োগ করলে আমরা পাই: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

এটা কৌতূহলী যে এই সমস্যাটিকে "গাউসিয়ান" বলা হয় কারণ ইন XVIII এর প্রথম দিকেশতাব্দীর বিখ্যাত জার্মান, এখনও মাত্র 10 বছর বয়সে, কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে তার মনের মধ্যে এটি সমাধান করতে সক্ষম হয়েছিল। ছেলেটি বীজগাণিতিক অগ্রগতির যোগফলের সূত্রটি জানত না, তবে সে লক্ষ্য করেছে যে আপনি যদি অনুক্রমের প্রান্তে অবস্থিত সংখ্যার জোড়া যোগ করেন তবে আপনি সর্বদা একই ফলাফল পাবেন, অর্থাৎ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., এবং যেহেতু এই যোগফলগুলি ঠিক 50 (100 / 2) হবে, তাহলে সঠিক উত্তর পেতে, 50 কে 101 দ্বারা গুণ করাই যথেষ্ট।

উদাহরণ #6: n থেকে m পর্যন্ত পদের যোগফল

একটি গাণিতিক অগ্রগতির যোগফলের আরেকটি সাধারণ উদাহরণ হল: সংখ্যার একটি সিরিজ দেওয়া হয়েছে: 3, 7, 11, 15, ..., আপনাকে 8 থেকে 14 পর্যন্ত এর পদগুলির যোগফল কী হবে তা খুঁজে বের করতে হবে।

সমস্যা দুটি উপায়ে সমাধান করা হয়. তাদের মধ্যে প্রথমটিতে 8 থেকে 14 পর্যন্ত অজানা পদগুলি খুঁজে বের করা এবং তারপরে সেগুলিকে ক্রমানুসারে যোগ করা জড়িত। যেহেতু কয়েকটি পদ আছে, এই পদ্ধতিটি যথেষ্ট শ্রমসাধ্য নয়। তবুও, এই সমস্যাটি দ্বিতীয় পদ্ধতিতে সমাধান করার প্রস্তাব করা হয়েছে, যা আরও সর্বজনীন।

ধারণাটি হল m এবং n পদগুলির মধ্যে একটি বীজগণিতীয় অগ্রগতির যোগফলের জন্য একটি সূত্র পাওয়া, যেখানে n > m পূর্ণসংখ্যা। উভয় ক্ষেত্রে, আমরা যোগফলের জন্য দুটি অভিব্যক্তি লিখি:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2।
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2।

যেহেতু n > m, এটা স্পষ্ট যে 2 যোগফল প্রথমটি অন্তর্ভুক্ত করে। শেষ উপসংহারের অর্থ হল যে আমরা যদি এই রাশিগুলির মধ্যে পার্থক্য নিই এবং এর সাথে a m শব্দটি যোগ করি (পার্থক্য নেওয়ার ক্ষেত্রে, এটি যোগফল S n থেকে বিয়োগ করা হয়), তাহলে আমরা সমস্যার প্রয়োজনীয় উত্তর পাব। আমাদের আছে: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2)। এই অভিব্যক্তিতে একটি n এবং a m-এর জন্য সূত্রগুলি প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন। তারপর আমরা পাই: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2।

ফলস্বরূপ সূত্রটি কিছুটা কষ্টকর, তবে S mn যোগফল শুধুমাত্র n, m, a 1 এবং d-এর উপর নির্ভর করে। আমাদের ক্ষেত্রে, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8। এই সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই: S mn = 301।

উপরের সমাধানগুলি থেকে দেখা যায়, সমস্ত সমস্যা nম পদের অভিব্যক্তির জ্ঞান এবং প্রথম পদগুলির সেটের যোগফলের সূত্রের উপর ভিত্তি করে। আপনি এই সমস্যাগুলির যেকোনো একটি সমাধান করা শুরু করার আগে, এটি সুপারিশ করা হয় যে আপনি সাবধানে শর্তটি পড়ুন, আপনি কী খুঁজতে চান তা স্পষ্টভাবে বুঝুন এবং শুধুমাত্র তারপর সমাধানটি নিয়ে এগিয়ে যান।

আরেকটি টিপ হ'ল সরলতার জন্য প্রচেষ্টা করা, অর্থাৎ, আপনি যদি জটিল গাণিতিক গণনা ব্যবহার না করেই প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেন, তবে আপনাকে এটি করতে হবে, যেহেতু এই ক্ষেত্রে ভুল করার সম্ভাবনা কম। উদাহরণস্বরূপ, সমাধান নং 6 সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতির উদাহরণে, কেউ S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m সূত্রে থামতে পারে। এবং সাধারণ কাজটিকে আলাদা সাবটাস্কে বিভক্ত করুন (এই ক্ষেত্রে, প্রথমে a n এবং a m শব্দগুলি খুঁজুন)।

প্রাপ্ত ফলাফল সম্পর্কে সন্দেহ থাকলে, এটি পরীক্ষা করার সুপারিশ করা হয়, যেমনটি দেওয়া কিছু উদাহরণে করা হয়েছিল। কিভাবে একটি গাণিতিক অগ্রগতি খুঁজে বের করা, খুঁজে পাওয়া গেছে. একবার আপনি এটি খুঁজে বের করলে, এটি এতটা কঠিন নয়।