Въртенето е специален случай на движение, при който поне една точка от равнината (пространството) остава неподвижна. Когато равнината се върти, неподвижната точка се нарича център на въртене, когато пространството се върти, фиксираната линия се нарича ос на въртене. Въртенето на равнина (пространство) се нарича правилно (въртене от първи вид) или неправилно (въртене от втори вид), в зависимост от това дали запазва или не ориентацията на равнината (пространството).
На равнина в правоъгълни декартови координати правилното завъртане се изразява с формулите
x" = x cos? - y sin?, y" = x sin? + y cos?,
където? е ъгълът на въртене, а центърът на въртене е избран в началото. При същите условия неправилното завъртане на равнината се изразява с формулата
x" = xcos? + y sin?, y" = x sin? - y cos?.
Завъртане на равнина около точка S по насочен ъгъл ѓї е такова преобразуване на равнината върху себе си, което отвежда всяка точка M от равнината до точка M`, така че SM = SM` и насоченият ъгъл ЃЪMSM` е равен до ѓї.
Точката S се нарича център на въртене, а насоченият ъгъл ѓї се нарича ъгъл на въртене. Припомнете си, че ъгълът се нарича насочен, ако е посочено коя от неговите страни се счита за първа и коя за втора.
Ще използваме символа, за да обозначим въртене.
Преди всичко доказваме, че въртенето на равнината запазва разстоянието между точките. За целта вземаме две различни точки M и N от равнината.Означаваме с M` и N` техните изображения, докато се въртят около точка S през насочен ъгъл ѓї. Помислете за триъгълници SMN и SM`N`. В тези триъгълници страните SM и SM`, SN и SN` съответно са равни.
Лесно е да се види, че ъглите MSN и M`SN` на тези триъгълници също са равни. Това означава, че триъгълниците MSN и M`SN` също са равни. От равенството на тези триъгълници следва равенството на отсечките MN и M`N`. По този начин въртенето на равнината около дадена точка под даден насочен ъгъл е движение.
В равнината разгледайте въртене с център в точка S и ъгъл ѓї. Нека зададем PDCS така, че точката S служи за негово начало, а координатните вектори i, j са единични и взаимно перпендикулярни. Произволно на равнината вземаме точка M (x, y) с координати x и y спрямо PDCS Sxy. Под действието на въртенето тази точка ще отиде в някаква точка M`(x`, y`). Нека изразим координатите на точката M` чрез координатите на нейния обратен образ, ъгъла ѓї и координатите на центъра на въртене. В триъгълника SM`Mx` дължината на катета SMx` е равна на |x`|, а дължината на катета M`Mx` е равна на |y`|, а в триъгълника SMMx - SMx = |x |, MMx = |y|. Нека означим с ѓA насочения ъгъл, който образува лъча SM с положителната посока на оста на абсцисата (фиг. 2.2). След това в ориентиран правоъгълен триъгълник Mx`SM` насочен ъгъл ЃЪ Mx`SM` е равно на суматанасочени ъгли ѓї и ѓА, а дължината на хипотенузата SM` е равна. Като вземем предвид тези отношения, получаваме това
Тези формули са формулите за въртене на равнината около началото на насочен ъгъл ѓї. Използвайки тези формули, може да се покаже, че въртенето на равнина около точка по даден насочен ъгъл има следните свойства.
Свойства на въртене на равнината около точка
1. Когато равнината се завърти около дадена точка за даден насочен ъгъл, правата преминава в права, която образува насочен ъгъл с дадената права линия, равен на ъгъла на въртене.
Доказателство. Нека по отношение на координатната система Oxy линията d се дефинира от уравнението ax + by + c = 0, където. Нека зададем въртенето на равнината около точка O по насочен ъгъл ѓї по формули (2.1.). Нека намерим уравнението на образа на правата d при това завъртане. За да направите това, от формули (2.1.) изразяваме x и y чрез xЃЊ и yЃЊ получаваме формули от вида
За да получим уравнението на образа на правата d в уравнението ax + by + c = 0, заменяме x и y с изразите (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) и (? xЃЊ sinѓї + yЃЊcosѓї) . В резултат на това получаваме уравнение с формата. От лявата страна на това уравнение отворете скобите и го пренесете във формата
Дотолкова доколкото
тогава уравнението (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosѓї) yЃЊ + c = 0 дефинира права в равнината.
- 2. При завъртане около дадена точка под даден насочен ъгъл успоредните прави стават успоредни прави.
- 3. Завъртането на равнината около дадена точка с даден насочен ъгъл запазва простото съотношение на трите точки.
Доказателство. В самолета поставихме PDCS Oxy. Нека произволно вземем две точки и. Нека точката M(x, y) разделя отсечката M 1 M 2 по отношение на ѓІ Ѓ‚ ?1. Нека разгледаме въртенето на равнината около точка O по насочен ъгъл ѓї по формули (2.1.). Означете с и MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) образите на точките и M (x, y) под това завъртане. Нека покажем, че въртенето запазва простото съотношение на три точки и M (x, y) . Тъй като координатите на точките и M (x, y) удовлетворяват отношенията
тогава, за да се докаже факта, че точката MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) дели отсечката в същото съотношение ѓЃЊ‚‚ ?1, достатъчно е да се покаже, че
За да направите това, във формулите
замени с, с, с, с, с, с. В резултат получаваме отношенията
Умножете първото - по cos? , а вторият - на? грях? и го сглоби. В резултат на това получаваме равенство. Сега нека умножим двете страни на първото съотношение по греха? , а вторият - на cos? и го сглоби. Получаваме равенство.
И така, ние показахме, че точката M? (x?, y?) разделя сегмента в същото съотношение? ? ?1, което също разделя сегмента M 1 M 2 . А това означава, че въртенето на равнината около точка под даден ъгъл запазва простото съотношение на три точки.
- 4. Когато равнината се завърти около дадена точка под даден насочен ъгъл, отсечката преминава в равен сегмент, лъч в лъч, полуравнина в полуравнина.
- 5. Когато равнината се завърти около дадена точка под даден насочен ъгъл, ортонормираната рамка R преминава в ортонормираната R`.
В този случай точката M с координати x и y спрямо рамката R отива в точка M` със същите координати x и y, но спрямо рамката R`.
6. Съставът от две завъртания около точка O е ротация с център в точка O.
7. Съставът на две завъртания на равнината е завъртане през насочен ъгъл, центриран в точка C, така че, .
- 8. Съставът на две аксиални симетрии на равнина с неуспоредни оси m1 и m2, пресичащи се в точка O и образуващи насочен ъгъл, е завъртане на равнината около точка O.
- 9. Всяко завъртане на равнината около точка O може да се представи като композиция от две аксиални симетрии, като оста на едната от тях ще бъде правата p, минаваща през центъра O, а оста на другата - правата q, съдържаща ъглополовящата на ъгъла, образувана от изображението m` на лъча m по време на въртене около точка O под даден ъгъл и изображението m`` на лъча m` с аксиална симетрия с оста p.
При решаване на проблеми, свързани с намиране на изображения и прототипи геометрични фигури, дадени от техните аналитични условия спрямо правоъгълната декартова координатна система Oxy, при завъртане на равнината около точка под даден насочен ъгъл е препоръчително да се използват формули, които определят въртене, центрирано в произволна точка S(x0, y0) други отколкото произхода. За да изведем тези формули, ще използваме факта, че въртенето на равнината отвежда ортонормираната рамка R до ортонормираната рамка R` и всяка точка M с координати (x, y) спрямо рамката R до точката M ` със същите координати, но спрямо рамката R`.
От друга страна, точката M` спрямо рамката R` също има някои координати. Нека ги означим с x` и y`. По този начин имаме две координатни системи на равнината: едната от тях се определя от рамката R, а другата - от рамката R`.
Първата от тях ще наречем "стара", а втората - "нова". В съответствие с това "старите" координати на точка M` ще бъдат подредена двойка числа (x`, y`), а "новите" координати ще бъдат подредена двойка числа (x, y). Използвайки формули, изразяващи "старите" координати на точка по отношение на нейните "нови" координати при преминаване от една координатна система в друга, получаваме формулите:
Тъй като точката е инвариантна повратна точка, нейните координати отговарят на следните условия:
Изваждайки от двете части на равенства (2.2.) съответните части на съответните равенства (2.3.), получаваме формули, които изразяват координатите на изображението M` на точка M по отношение на координатите на самата точка M:
Формулите (2.4) са формули за завъртане на равнина около точка по даден насочен ъгъл.
„Завъртете в геометрията“ – Начертайте триъгълник, получен от триъгълник OAB чрез завъртане около точка O под ъгъл от 60o обратно на часовниковата стрелка. Начертайте триъгълника A'B'C', получен от триъгълника ABC чрез завъртане около точка O под ъгъл от 90o обратно на часовниковата стрелка. Триъгълник A'B'C' се получава чрез завъртане на триъгълник ABC по посока на часовниковата стрелка около точка O. Намерете ъгъла на въртене.
"Видове движение" - Централна симетрия в координатната система. Картографиране на самолета върху себе си. Когато самолетът се движи, точка А отива в точка М. Конструкция. Паралелен трансфер. Паралелно прехвърляне на равнина в координатна система. Задача. Изградете образа на този трапец. Построяване на симетрични точки и отсечки. Трансформация на F форма.
"Движение и неговите видове" - Изгледи на Лондон. точки. Определение. Самостоятелна работа. Функция. Жива симетрия. Оста на симетрия. Обърни се. Начало на движението. Леденото кралство. Биг Бен Лондон Часовник. Фигура. Картографиране на самолета върху себе си. Движение. Московски ученици. Паралелен трансфер. Главна информация. Процес на движение. триъгълник.
„Видове движение на телата“ – Октаедър. Правилен тетраедър. Огледална симетрия. Ръб, край. Центърът на засенченото лице. централна симетрия. Аксиална симетрия. Колко различни движения има. върхове. Назовете движението. Движение. Едната страна на куба е боядисана.
"Основни видове движения" - Фигури, съдържащи ос на симетрия. Фигури с две оси на симетрия. Аксиална симетрия. Фигури с централна симетрия. Паралелен трансфер. Огледална симетрия. Картографиране на пространството към себе си. Движение в пространството. Фигури с повече от две оси на симетрия. Фигури с централна симетрия.
„Понятие за движение в геометрията” – Тема на изследване. Симетрия около права линия. Движение в хода на алгебрата. Симетрия в архитектурата. Разграничават се следните свойства на движението. Красотата и хармонията са тясно свързани със симетрията. Завъртане и паралелен превод. Симетрия. Движение в геометрията, алгебрата и света около нас. Повечето растения и животни са симетрични.
Общо в темата има 19 презентации
Завъртане (въртене) - движение, при което поне една точка
равнината (пространството) остава неподвижна.
Във физиката ротацията често се нарича непълна ротация или, обратно,
ротацията се разглежда като особен вид ротация. Последна дефиниция
по-строго, тъй като понятието за въртене обхваща много по-широко
категория движения, включително тази, в която траекторията на движението
тялото в избраната референтна система е отворена крива.
Наречен
се преобразува в такава точка M1, че OM = OM1 и ъгълът MOM1 е равен
M1
М
О 110
100
120
60
70
100
80
40
30
140
30
150
160
20
170
170
10
180
50
110
130
40
160
M160
120
50
150
70
90
130
140
80
180
0
ОТНОСНО
М
20
10
0A1
В 1
НО
ОТНОСНО
IN О Завъртане на сегмента.
О
О Център за въртене на фигурата
може би във вътрешността
области на фигурата и
външен...
О При завъртане
многоъгълник
завъртете всеки
връх.
О
10.
Паралелното прехвърляне е специален случай на движение, при което всичкиточките в пространството се движат в една и съща посока
същото разстояние. В противен случай, ако M е начален и M" е
изместена позиция на точката, тогава векторът MM" е еднакъв за всички
двойки точки, съответстващи една на друга в дадената трансформация.
Паралелното преместване премества всяка точка от формата или
пространство за същото разстояние в същото
посока.
11.
аПаралелно прехвърляне към вектор
Наречен
преобразуване на равнината върху себе си, в което всяка точка M
се преобразува в точка M1, така че векторът MM1 е равен на вектора
М
„Паралелен трансфер
и се обърне"
9 клас (геометрия)
подготвени и проведени:
Мегеря Лариса Ивановна - учител по математика
Средно училище Silantyevskaya
УРОК, 9 клас "Движения".
.
Блез ПАСКАЛ
Тема на урока: "паралелен превод и ротация"
Цели на урока: образователен - запознават учениците с понятието транслационна и ротационна симетрия;
развиващи се - да запознае учениците с техниките на дизайнерите при изграждане на теселации;
образователен - на примера на работата на Ешер, доведете децата до идеята за необходимостта от хармонично и пропорционално развитие в себе си както на образното, така и на логическото мислене.
Да внуши любов към геометрията чрез картините на художника Мориц Ешер.
Оборудване: мултимедиен проектор, интерактивна дъска, компютър, справочни бележки.
Планирайте.
Org. момент.
N.t.
и т.н
N.t.
и т.н
Физическа минута
и т.н
д/ч
резултат.
По време на часовете:
1. (ПРЕЗЕНТАЦИЯ 1)
СЛАЙД 1.
Веднъж великият гръцки философ Сократ беше попитан кое според него е най-лесното нещо в живота. Той отговори, че най-лесно е да учиш другите, а най-трудното е да опознаеш себе си. В класната стая и извън училище научаваме за света около нас. Но сега нека погледнем навътре в себе си. Как възприемаме Светът? Като художници или като мислители?
Тест.
1) Преплетете пръстите си. Палецът на дясната или лявата ви ръка е върху вас? Напишете резултата с буквите "L" или "P".
2) Скръстете ръце на гърдите си (поза Наполеон). Ръката, коя ръка беше отгоре? Запишете резултата.
3) Изобразете „бурни аплодисменти“. Длан, коя ръка е върху теб? Да го напишеш.
СЛАЙД 2.
Нека обобщим, като се има предвид, че резултатът "LLL" съответства на художествения тип личност, а "PPP" - на типа мислител.
(Тези различия са свързани с функционалната асиметрия на човешкия мозък: „художниците“ имат по-развито дясно полукълбо и преобладава образното мислене, докато „мислителите“ имат съответно лявото полукълбо и логично мислене).
Какъв тип мислене преобладава у вас? Вдигнете ръце, кой според резултатите от теста "PPP" ..., "LLL".
Няколко „мислители“, няколко „художници“, мнозинството са личности, които се характеризират както с логическо, така и с образно мислене. Така се опознахме по-добре: ти - със себе си, аз - с теб. А сега да преминем към познаването на темата на урока.
2. СЛАЙД 3 .
И така, темата на урока е:Паралелен превод и въртене».
СЛАЙД 4.
Видяхме, че повечето хора се характеризират както с образно, така и с логическо мислене. Един от ясни примерие личността на известния холандски график Мориц Корнелиус Ешер. Математическите идеи играят централна роля в повечето от неговите картини. Любопитно е, че самият Ешер не може да се похвали със завършено математическо образование.
Ето какво пише самият художник за това: „Никога не съм успявал да получа добра оценка по математика. Смешно е, че изведнъж се оказах свързан с тази наука. Повярвайте ми, бях много лош ученик в училище. И сега математиците използват моите рисунки, за да илюстрират книгите си... Изглежда не знаят, че аз съм напълно неграмотен математически. Вероятно има известно преувеличение в тези думи, още повече, че в хода на работата си той черпи идеи от различни математически статии.По-късно той признава:Въпреки че съм напълно невежа точни науки, понякога имам чувството, че съм по-близо до математиците, отколкото до моите колеги художници. И математиците оцениха картините му и сегаОт 50-те години на миналия век Ешер изнася лекции на международни конгреси на математиците и кристалографите.
ПЪРЗАЛКА 5 .
През целия си живот Ешер създава голямо разнообразие от гравюри и литографии. Избрах за демонстрация част от скици за гравюри, обединени от обща идея. Погледнете ги внимателно и отговорете на въпроса: „Каква идея има в тези скици? Как се казват тези рисунки с една дума? (мозайка, повтарящи се елементи, симетрична).
Симетрията не е само математическо понятие. Взето е от природата. И тъй като човекът е част от природата, човешкото творчество във всичките му проявления гравитира към симетрия.
ПЪРЗАЛКА 6 .
В Краткия Оксфордски речник „симетрията“ се дефинира като „красота, дължаща се на пропорционалността на частите на тялото или всяко цяло, баланс, подобие, хармония, съгласуваност“
Какви видове симетрия познавате? (централен, аксиален).
3. СЛАЙД 7.
Какво е аксиална симетрия? (картографиране на равнината върху себе си, в коятовсяка точка M от тази равнина е свързана с точка M 1 , симетрично към него по отношение на правата a.Правата a е перпендикулярната ъглополовяща на отсечката MM 1 )
СЛАЙД 8.
На дъската са изобразени реални физически обекти, които имат аксиална симетрия. Съгласен ли си? (No 2 - няма аксиална симетрия).
СЛАЙД 9.
Какво е централна симетрия? (картографиране на равнината върху себе си, в коятовсяка точка M е свързана с такава точка M 1 че точката O е средата на отсечката MM 1 )
СЛАЙД 10.
Например обекти с централна симетрия. (No 3 - няма централна симетрия).
СЛАЙД 11.
Знаете, че аксиалната и централната симетрия са движения на равнината, тоест запазват всички разстояния между точките, което означава, че превръщат фигурите в равни. Как се движат обектите в реалния живот? По каква траектория? (по права линия, в кръг).
4. СЛАЙД 12.
Обърнете внимание на скицата за гравюрата "Среща". Как е човешкото движение? (по права линия).
СЛАЙД 13.
А на снимката "Пътят на живота 2"? (кръгъл). Ако материална точкасе движи по права линия, те говорят за успоредна транслация или изместване на равнината. Ако материална точка се движи в окръжност, се говори за въртене на равнината около определена точка.
ПЪРЗАЛКА 14 .
Движението по права линия се характеризира с посоката на движение и изминатото разстояние, следователно е достатъчно да се въведе преносен вектор, който ще вземе предвид тези две характеристики.
ПАРАЛЕЛНО ПРЕДАВАНЕ - преобразуване на равнината върху себе си, при което всички точки се изместват в една и съща посока на едно и също разстояние (транслационен вектор).
СЛАЙД 15.
1 в 1 с 1 , което се получава от триъгълник ABCпаралелен превод към вектора .
СЛАЙД 16.
Когато се движите около кръг, трябва да знаете къде е центъра на кръга, посоката на движение (по или обратно на часовниковата стрелка) и ъгъла на въртене.
ВЪРТЕНЕ – картографиране на равнината върху себе си, при което всички точки се изместват около дадена точка (център на въртене) с даден ъгъл (ъгъл на въртене) в една посока (по часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка).
СЛАЙД 17.
Например, построете триъгълник A 1 в 1 с 1 , което се получава от триъгълника ABC чрез завъртане около точка O по посока на часовниковата стрелка на 90относно .
СЛАЙД 18.
Тъй като симетрията в широк смисъл означава инвариантност на свойствата и формата на материалния обект спрямо неговите трансформации, паралелната транслация и въртене се наричат още видове симетрия - транслационна и ротационна симетрия.
5. (ИНТЕРАКТИВНА БЯЛА ДЪСКА)
А сега да се върнем към картините на Ешер (според опциите на отпечатаните листове).
1) Намерете в снимки различни видовесиметрии: (покажи проба)
Проверете с интерактивна бяла дъска (флипчарт, стр. 11, 12 половин страница сляп инструмент, покриващ верния отговор)
И така, открихме, че има симетрия в много от картините на Ешер.
6. Физическо възпитание
7. (ПРЕЗЕНТАЦИЯ 2)
СЛАЙД 1. Сега картините на Ешер са изключително популярни и модерни.Работата му беше търсена от популярната култура. Страхотно количество графични произведения, особено мозайки, могат да бъдат намерени на телефонни карти, пощенски марки, опаковки на различни стоки, тапети, дрехи и т.н.
СЛАЙД 2. Назад в деня, Мик Джагървокалистът на популярната рок група Rolling Stones и в същото време пламенен почитател на таланта на Ешер, поиска разрешението му да постави гравюрата "Verboom" на корицата на своя запис. Но Ешер, в най-решителната и дори сурова форма, отказа на Мик Джагър.
(ИНТЕРАКТИВНА ДЪСКА)
Ние, за да не нарушаваме нечии авторски права, ще се научим как сами да създаваме теселации -мозайки с абсолютно еднакви форми, които граничат една с друга без празнини, без да се припокриват една с друга и ще можете да зарадвате околните с вашите дизайнерски находки.
Алгоритъм за изграждане:
Избор на решетка за конструиране на плосък орнамент (квадратна, триъгълна, шестоъгълна, правоъгълна, от успоредник).
Рисуване на мотив на базата на една мрежова клетка с помощта на симетрични трансформации.
Изграждане на орнамент с получения мотив на базата на избраната решетка.
Оцветяване на орнамент.
(флипчарт, стр. 18, 19 половин страница сляп инструмент, покриващ верния отговор)
8. D/z,
n.u. n 4.4, n. 4.5, карта
s.u с. 79-80, карта
диференциал за работа
В заключение искам да припомня резултатите от теста, проведен в началото на урока. Блез Паскал каза:Величието не е в това да стигнеш до крайности, а да докоснеш две крайности едновременно и да запълниш празнината между тях. ». Художници и мислители, образно и логическо мислене. Равновесието и хармонията между тези крайности могат да бъдат постигнати само чрез равномерно развиване на двете качества в себе си. И не се разстройвайте от тези, които според резултатите от теста са имали „PPP“ или „LLL“. Спомнете си, Морис Ешер също първоначално беше едностранен човек. Вие сте едва в началото на пътуването. Късмет!
В тригонометрията важно понятие е ъгъл на въртене. По-долу последователно ще даваме представа за завоя и ще представим всички свързани понятия. Да започнем с Главна идеяоколо завой, да кажем пълен завой. След това се обръщаме към концепцията за ъгъла на въртене и разглеждаме основните му характеристики, като посоката и количеството на въртене. И накрая, нека дефинираме въртенето на фигура около точка. Ще предоставим цялата теория в текста с обяснителни примери и графични илюстрации.
Навигация в страницата.
Какво се нарича въртене на точка около точка?
Веднага отбелязваме, че наред с фразата „завъртете точка“ ще използваме и фразите „завъртете точка“ и „завъртете точка“, които означават едно и също нещо.
Да се представим концепцията за обръщане на точка около точка.
Първо, нека дефинираме центъра на въртене.
Определение.
Точката, около която се извършва въртенето, се нарича точка на вътрене.
Сега нека кажем какво се случва в резултат на въртене на точки.
В резултат на завъртането на някаква точка A около центъра на въртене O се получава точка A 1 (която в случай на определено количество може да съвпадне с A ), а точка A 1 лежи върху окръжност с център в точка O на радиус OA . С други думи, при завъртане около точка O, точката A отива в точка A 1, лежаща върху окръжност с център в точка O с радиус OA.
Смята се, че точката О, когато се завърта около себе си, отива в себе си. Тоест, в резултат на въртене около центъра на въртене O, точката O отива в себе си.
Заслужава да се отбележи също, че въртенето на точка А около точка О трябва да се разглежда като движение в резултат на движението на точка А по окръжност, центрирана в точка О с радиус ОА.
За по-голяма яснота ще илюстрираме въртенето на точка А около точка О, на фигурите по-долу ще покажем движението на точка А до точка А1 с помощта на стрелка.
Пълен завой
Възможно е да се извърши такова завъртане на точка А спрямо центъра на въртене O, че точката А, след като е преминала всички точки на окръжността, ще бъде на едно и също място. В този случай те казват, че точка А е направила около точка О.
Нека дадем графична илюстрация на пълен завой.
Ако не спрете на един завой, а продължите да местите точката около кръга, тогава можете да извършите два, три и така нататък пълни завъртания. Чертежът по-долу показва как могат да се направят два пълни завъртания отдясно и три завъртания отляво.
Концепцията за ъгъла на въртене
От концепцията за въртене на точката, въведена в първия параграф, става ясно, че има безкраен брой опции за завъртане на точка А около точка О. Всъщност всяка точка от окръжността с център в точка O с радиус OA може да се разглежда като точка A 1 , получена в резултат на въртенето на точка A . Следователно, за да различим едно завъртане от друго, ние въвеждаме концепция за ъгъл на въртене.
Една от характеристиките на ъгъла на въртене е посока на завиване. Посоката на въртене се използва, за да се прецени дали точката се завърта по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка.
Друга характеристика на ъгъла на въртене е неговата величина. Ъглите на въртене се измерват в същите единици като: градуси и радиани са най-често срещаните. Тук си струва да се отбележи, че ъгълът на въртене може да бъде изразен в градуси от всеки реално числоот интервала от минус безкрайност до плюс безкрайност, за разлика от ъгъла в геометрията, чиято стойност в градуси е положителна и не надвишава 180 .
За обозначаване на ъгъла на въртене обикновено се използват малки буквиГръцка азбука: др. За обозначаване на голям брой ъгли на завъртане често се използва една буква с индекси, например 
.
Сега нека поговорим за характеристиките на ъгъла на въртене по-подробно и по ред.
Посоката на завиване
Нека точките A и A 1 са отбелязани върху окръжността с център в точка O. Можете да стигнете до точка A 1 от точка A, като се завъртите около центъра O по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка. Логично е тези завои да се считат за различни.
Нека илюстрираме завоите в положителна и отрицателна посока. Чертежът по-долу показва въртене в положителна посока отляво и отрицателно въртене отдясно.
Стойност на ъгъла на завъртане, ъгъл с произволна стойност
Ъгълът на завъртане на точка, различна от центъра на въртене, се определя напълно чрез определяне на неговата стойност, от друга страна, по големината на ъгъла на въртене, може да се прецени как е извършено това завъртане.
Както споменахме по-горе, ъгълът на въртене в градуси се изразява като число от −∞ до +∞. Знакът плюс съответства на въртене по посока на часовниковата стрелка, а знакът минус съответства на въртене обратно на часовниковата стрелка.
Сега остава да се установи съответствие между стойността на ъгъла на въртене и на какво въртене съответства.
Нека започнем с ъгъл на завъртане от нула градуса. Този ъгъл на завъртане съответства на изместването на точка А към себе си. С други думи, при завъртане на 0 градуса около точка О, точка А остава на мястото си.
Обръщаме се към въртенето на точка А около точка О, в която въртенето става в рамките на половин оборот. Ще приемем, че точка A отива в точка A 1 . В този случай абсолютната стойност на ъгъла AOA 1 в градуси не надвишава 180 . Ако въртенето е настъпило в положителна посока, тогава стойността на ъгъла на въртене се счита за равна на стойността на ъгъла AOA 1 , а ако завъртането е настъпило в отрицателна посока, тогава стойността му се счита за равна на стойността на ъгъл AOA 1 със знак минус. Например, ето фигура, показваща ъгли на въртене от 30, 180 и -150 градуса.
Ъглите на въртене, по-големи от 180 градуса и по-малки от −180 градуса, се определят въз основа на следното доста очевидно свойства на последователни завои: няколко последователни завъртания на точка А около центъра O са еквивалентни на едно завъртане, чиято стойност е равна на сумата от стойностите на тези завъртания.
Нека дадем пример, илюстриращ това свойство. Нека завъртим точка А спрямо точка О с 45 градуса и след това завъртим тази точка на 60 градуса, след което ще завъртим тази точка с -35 градуса. Нека обозначим междинните точки в тези завои като A 1 , A 2 и A 3 . Можем да стигнем до същата точка A 3, като направим едно завъртане на точка A под ъгъл от 45+60+(−35)=70 градуса.
И така, ще представим ъглите на завъртане по-големи от 180 градуса като няколко последователни завъртания по ъгли, сумата от стойностите на които дава стойността на първоначалния ъгъл на завъртане. Например, ъгъл на завъртане от 279 градуса съответства на последователни завъртания от 180 и 99 градуса, или 90, 90, 90 и 9 градуса, или 180, 180 и -81 градуса, или 279 последователни завъртания от 1 градус.
Ъглите на въртене, по-малки от −180 градуса, се дефинират по подобен начин. Например, ъгъл на завъртане от -520 градуса може да се интерпретира като последователни завъртания на точка с -180, -180 и -160 градуса.
Обобщавайте. Дефинирали сме ъгъла на завъртане, чиято стойност в градуси се изразява с някакво реално число от интервала от −∞ до +∞. В тригонометрията ще работим с ъгли на въртене, въпреки че думата "въртене" често се пропуска и се казва само "ъгъл". Така в тригонометрията ще работим с ъгли с произволна величина, под които разбираме ъглите на въртене.
За да завършим този параграф, отбелязваме, че пълно завъртане в положителна посока съответства на ъгъл на завъртане от 360 градуса (или 2 π радиана), а в отрицателна посока - ъгъл на въртене от -360 градуса (или -2 π rad) . В този случай е удобно големите ъгли на въртене да се представят като брой пълни обороти и още едно завъртане под ъгъл от −180 до 180 градуса. Например, нека вземем ъгъл на завъртане от 1340 градуса. Лесно е да се представи 1 340 като 360 4+(−100) . Тоест, първоначалният ъгъл на завъртане съответства на 4 пълни завъртания в положителна посока и последващото завъртане с -100 градуса. Друг пример: ъгъл на завъртане от −745 градуса може да се интерпретира като две завъртания обратно на часовниковата стрелка и след това завъртане от −25 градуса, тъй като −745=(−360) 2+(−25) .
Завъртете фигура около точка под ъгъл
Концепцията за обръщане на точка лесно се разширява до завъртете всяка форма около точка на ъгъл (говорим сиза такова завъртане, че както точката, около която се извършва въртенето, така и фигурата, която се върти, лежат в една и съща равнина).
Под завъртане на фигурата имаме предвид завъртането на всички точки на фигурата около дадена точка под даден ъгъл.
Като пример, нека илюстрираме следното действие: нека завъртим сегмента AB на ъгъл спрямо точката O, този сегмент, когато се завърти, ще влезе в сегмента A 1 B 1 .
Библиография.
- алгебра: Proc. за 9 клетки. средно училище / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
- Башмаков М.И.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. средно училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидатстващи в техникумите): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
